Тогда решение уравнения (17) имеет вид для

Доказательство. Рассмотрим пространство последовательностей , в нем введем норму:

.

Относительно этой нормы пространство последовательностей становится банаховым, которое мы обозначим через B. Очевидно, что , (для любого t). Заметим, что любой , в силу условий (R), справедливо равенство

. (26)

Перепишем уравнение (17) в интегральной форме

. (27)

(27) с учетом (26) можно представить в виде

Отсюда следует, что справедливо неравенство

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла – Беллмана, из последнего неравенства следует, что , т.е. – решение уравнения (17). Доказательство закончено.

3. Из теоремы 16 вытекает важное утверждение.