Геодезическая эллипсоидальная система координат

Геодезическая эллипсоидальная система координат строится на базе эллипсоида вращения, поверхность которого используется в качестве поверхности относимости, на которую проецируются и затем обрабатываются результаты геодезических измерений.

Центр эллипсоида помещается в центре масс Земли. Ось Z прямоугольной СК направлена вдоль малой оси эллипсоида; оси X и Y лежат в плоскости экватора эллипсоида. Сечение эллипсоида плоскостью XoZ фиксирует на поверхности эллипсоида начальный меридиан.

Точки земной поверхности проецируются на эллипсоид по нормалям к его поверхности.

Геодезические эллипсоидальные координаты B, L, H (Рис.1.2.) определяются следующим образом.

Рис.1.2. Геодезические прямоугольные системы координат и геодезические эллипсоидальные координаты.

Геодезическая широта В точки – это угол между нормалью к эллипсоиду и плоскостью экватора. Ясно, что 0°≤ В ≤90° может быть как северной (знак +), так и южной (знак –)

Геодезическая долгота L точки – это двугранный угол между плоскостями начального геодезического меридиана (плоскость Y =0) и плоскостью геодезического меридиана пункта.

Плоскостью геодезического меридиана пункта называется плоскость, проходящая через нормаль к эллипсоиду и малую полуось эллипсоида. Сечение этой плоскостью поверхности эллипсоида является геодезическим меридианом (линией равных долгот) на поверхности эллипсоида.

Геодезическая высота пункта Н – есть отрезок нормали к поверхности эллипсоида.

Геодезическая долгота L отсчитывается от начального (гринвичского) геодезического меридиана в направлении на восток от 0 до 360°. В ряде случаев пользуются понятием восточной и западной долготы, т.е. отсчитывают долготу на восток или на запад от Гринвича с обязательным указанием восточная или западная долгота пункта. Пределы изменения долготы в этом случае ограничены 0° и 180°.

1.5.3. Система плоских прямоугольных координат проекции Гаусса – Крюгера.

Обработка результатов геодезических измерений и их использование в инженерных целях становятся более простыми и наглядными, если они представлены в системе прямоугольных координат на плоскости. В этом случае становится возможным применение простых формул аналитической геометрии.

Поэтому в геодезии стараются изображать небольшие участки земной поверхности на плоскости, при этом возникающие неизбежно искажения вычисляют и при необходимости учитывают.

Формально закон отображения эллипсоидальной поверхности на плоскости можно выразить следующими уравнениями:

x=ƒ₁(B,L)

y=ƒ₂(B,L)

где x, y – плоские координаты изображаемой точки; В, L – эллипсоидальные координаты.

Формулы (1.1) показывают, что каждой точке поверхности эллипсоида соответствует точка на плоскости. Закон отображения точек эллипсоида на плоскость определяется видом функций ƒ₁ иƒ₂, они также характеризуют искажения геометрических фигур, возникающие при этом. Отображение эллипсоида на плоскость, выполненное по определенному математическому правилу (алгоритму) носит название картографической проекции или просто проекции.

При этом основная проблема выбора вида проекции заключается в том, что ни всю поверхность земного эллипсоида, ни его части нельзя представить (развернуть) на плоскости без искажений.

Требования, которые установлены при выборе проекции:

1) минимальные искажения изображаемых элементов поверхности;

2) простота учета искажений.

Системы плоских прямоугольных координат с единым началом для отображения поверхности всего земного эллипсоида практически быть не может, поскольку искажения при этом становятся слишком большими. В связи с этим неизбежным является разделение земной поверхности на части, или зоны, изображаемые независимо, каждая в своей системе координат. При выборе проекции следует стремиться к минимальному числу зон на территории одного государства. Также должна быть предусмотрена возможность перехода из зоны в зону в пограничных областях.

Отмеченным требованиям, как показали исследования, вполне удовлетворяет проекция Гаусса – Крюгера. Эта проекция была разработана и предложена Гауссом в 1825–30 гг., в 1912 г. Крюгер разработал детали ее применения и получил формулы, в связи с чем проекция получила существующее название.

В проекции Гаусса–Крюгера земной эллипсоид поделен на зоны меридианами, протяженность по долготе которых составляет 6°. Каждая зона представляет собой сферический двуугольник (Рис. 1.3.), построенный от северного полюса к южному. Количество таких зон на Земле равно 60. Начало счета зон ведется от гринвичского меридиана. Средний меридиан каждой зоны называется осевым меридианом. Долготы осевых меридианов вычисляют по формуле

L_о = 6ºn – 3º, n=1,2,3,…60;

где n – номер зоны, считается от начального (гринвичского) меридиана.

Внутри каждой зоны изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс (ось x), а изображение экватора за ось ординат (ось y). Осевой меридиан и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями. Осевой меридиан изображается без искажений.

Рис. 1. 3. Зоны на эллипсоиде и плоскости.

Таким образом, в каждой зоне образуется своя система плоских прямоугольных координат с началом в точке пересечения изображений осевого меридиана и экватора.

Проекция Гаусса–Крюгера обладает свойством конформности, т.е. бесконечно малые контуры на эллипсоиде изображаются подобными на плоскости, угловые искажения при проектировании отсутствуют, масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат точки.

Для всей территории России абсциссы x положительны, поэтому знак «+» перед значением абсциссы не ставится. Ординаты y могут иметь положительные (на восток от осевого меридиана) и отрицательные (на запад от осевого меридиана) значения. Для удобства начало счета ординат сдвигают на запад на 500 км, т.е. к значениям ординат прибавляют 500 км и впереди полученной суммы ставят номер зоны. Таким образом, все ординаты получают положительное значение.

Достоинство проекции Гаусса–Крюгера заключается в том, что при работах малой точности нет необходимости учитывать искажения, поскольку на краю шестиградусной зоны они не превосходят 1/1200 длины линии.

Применение системы координат Гаусса – Крюгера способствует ликвидации бессистемности в применении систем прямоугольных координат в геодезических работах.