Определение оптимальной потребительской корзины методом Лагранжа

Для определения потребительского набора, в наибольшей степени удов­летворяющего потребителя и приносящего ему максимальную полезность при данном бюджетном ограничении, составим новую функцию, которая объединила бы функцию полезности и уравнение бюджетного ограниче­ния. Для того чтобы уравнение имело решение (с учетом множества неиз­вестных), введем новое неизвестное (коэффициент Лагранжа).

Пусть р₁, р₂,..., р_n — цены соответствующих товаров, R — доход потребите­ля, TU = f(q₁, q₂,...,q_n) — функция полезности для n-го количества товаров. Тогда бюджетное ограничение может быть задано уравнением:

R = p₁q₁ + p₂q₂ +... +p_nq_n, или

R - p₁q₁ - p₂q₂ -... - p_nq_n = 0.

Полученная функция будет иметь вид

L = f (q₁,q₂,..., q_n) + λ (R - p₁q₁ - p₂q₂ -... - p_nq_n),

где λ — коэффициент Лагранжа.

Для определения условий максимизации функции Лагранжа для двух това­ров найдем частные производные от L для каждой переменной и приравня­ем их к нулю:

∂L/∂q₁ = ∂TU/∂q₁ - λp₁ = 0;

∂L/∂q₂ = ∂TU/∂q₂ - λp₂ = 0;

∂L/∂λ = R - p₁q₁ - p₂q₂ = 0.

Решим полученную систему уравнений и определим оптимальную потре­бительскую корзину (q₁*, q₂ *). Из уравнений видно, что:

[∂TU/∂q₁]/p₁= λ;

[∂TU/∂q₂]/p₂= λ.

Экономический смысл выражений ∂TU/∂q₁ и ∂TU/∂q₂ — предельные полез­ности MU₁ и MU₂.

Коэффициент λ отражает предельную полезность денег и показывает, в ка­кой степени возрастает совокупная полезность потребителя при увеличе­нии его денежного дохода на 1 руб.

Для всех непокупаемых товаров имеет место соотношение

MU_n/P_n ≤ λ

Другими словами, если уже первый рубль, израсходованный на покупку то­вара n, приносит потребителю недостаточно высокую полезность, то он во­обще отказывается от потребления данного товара. Таким образом, первоначальное уравнение принимает вид MU₁/Р₁= MU₂/P₂ = MU сбережений, что, как известно, является условием максимизации полезности.