Определения. Пусть дана последовательность вещественных чисел

Глава 9. Числовые ряды

Пусть дана последовательность вещественных чисел . Образуем новую последовательность по правилу

; ; ; …; .

Эти величины называются частными суммами числового ряда, а слагаемое называют общим членом ряда.

Рассмотрим теперь . Он называется числовым рядом и обозначается символом

.

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину А, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится (так как в данной главе других рядов не будет, то слово «числовой» мы будем опускать).

Обратите внимание на одну деталь: индекс суммирования в знаке бесконечной суммы может быть любым, то есть

,

от этого ничего не меняется. Как говорят, индекс суммирования является немым индексом, то есть он может быть обозначен любой буквой.

Величина

называется остатком ряда после n -го слагаемого. Его можно записать и так:

.