Анализ дискретных систем

3.6.1. Устойчивость линейных дискретных систем

Рассмотрим дискретную систему, описываемую моделью в терминах пространства состояний

(3.294)

где — в общем случае нелинейная нестационарная вектор-функция. Предполагается существование и единственность решения системы (3.294) при заданных начальных условиях.

Невозмущенным движением системы называется решение системы (3.294) при заданных начальных условиях т. е.

Возмущенным движением системы называется решение системы (3.294) при иных начальных условиях:

Невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, если для любого, сколь угодно малого существует такое, что для всех решений, удовлетворяющих условию выполняется для всех

Невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется при при условии, что

Невозмущенное движение устойчиво в целом, если оно асимптотически устойчиво при любых начальных условиях.

Таким образом, устойчивость определяется для конкретного решения, а не для всех возможных решений системы. Очевидно, что частным случаем невозмущенного движения является равновесное состояние системы которое, не умаляя общности, можно считать нулевым.

Система (3.294) устойчива, если она имеет единственное состояние равновесия, асимптотически устойчивое в целом.

Выше были даны определения устойчивости по отношению к возмущениям начальных условий. Наряду с ними используются и другие понятия устойчивости.

Линейная стационарная система устойчива по входу, если из ограниченности входа следует ограниченность выхода при любых начальных условиях.

В иностранной литературе такой вид устойчивости называют BIBO-устойчивостью (от английского «Bounded Input–Bounded Output» (BIBO) — «ограниченный вход–ограниченный выход»).

Далее ограничимся рассмотрением вопросов анализа устойчивости лишь для линейных стационарных систем

(3.295)

Для определения устойчивости линейных стационарных систем существуют различные методы, в том числе [81]:

· метод, основанный на вычислении корней характеристического уравнения;

· алгебраические методы;

· метод анализа в частотной области;

· метод функций Ляпунова.

Таким образом, используется весь спектр методов анализа устойчивости для линейных непрерывных систем, но применительно к системам дискретного времени.

Рассмотрим невозмущенное движение линейной дискретной системы

(3.296)

и соответственно возмущенное движение

(3.297)

Введя обозначения и используя уравнения (3.296), (3.297), получим уравнение в отклонениях

решение которого имеет вид

и представляет собой линейную комбинацию где — многочлен от порядка на единицу меньше кратности собственного числа матрицы В частности, при различных вещественных числах матрицы решение — линейная комбинация

Очевидно, что линейная система имеет единственное равновесное состояние которое является асимптотически устойчивым в целом, если выполнено условие

(3.298)

Теорема 3.2. Линейная стационарная система устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы лежат внутри единичного круга.

Можно показать, что дискретная линейная система BIBO — устойчивая по входу, если она устойчивая. Обратное утверждение неверно.

Таким образом, корневой метод устойчивости предполагает нахождение решений характеристического уравнения системы и проверки условия (3.298). В случае высокого порядка характеристического многочлена эта задача требует привлечения численных методов. Достоинство метода заключается в том, что расположение собственных чисел матрицы дает информацию не только об устойчивости системы, но и, например, позволяет судить о характере собственных движений системы (см. п. 3.4.9). Взаимосвязь между s - и z -плоскостями позволяет, используя конформное отображение Мебиуса

или (3.299)

преобразовать внутренность единичного круга в левую полуплоскость некоторой комплексной переменной

Пусть характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид

(3.300)

Тогда, подставляя из (3.299) в (3.300), придем к алгебраическому выражению вида

и характеристическому уравнению

Такой переход, в свою очередь, позволяет использовать методы анализа устойчивости линейных стационарных непрерывных систем (алгебраические, критерий Михайлова, корневой и т.п.) для определения устойчивости дискретной системы.

3.6.2. Алгебраические критерии устойчивости
линейных дискретных систем

Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости по анализу коэффициентов характеристического многочлена. Такой критерий, эквивалентный критерию Рауса–Гурвица, был предложен Шуром, Кохом и Джури.

Для того чтобы определить, все ли корни характеристического многочлена находятся внутри единичного круга, строят следующую таблицу:

где

Первая и вторая строки — коэффициенты характеристического многочлена (3.300) в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки на и вычитанием произведения из первой строки. Четвертая строка — это третья строка, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до тех пор, пока в последней строке не останется единственный элемент

Критерий Джури. Если то все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, только когда все положительные. Если среди нет нулевых, то количество отрицательных равно количеству корней вне единичного круга.

Пример 3.16. Пусть задано характеристическое уравнение вида

Таблица Джури имеет вид

Все корни лежат внутри единичной окружности, если

Условия устойчивости имеют вид:

Область устойчивости имеет вид, показанный на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Область устойчивости для приведенного уравнения второго порядка

3.6.3. Критерии устойчивости в частотной области

Так же как и для непрерывных систем, при исследовании устойчивости дискретных систем в частотной области применяются два основных критерия — Михайлова и Найквиста. Как указывалось выше, анализ устойчивости выполняется на основе проверки выполнения условия для корней характеристического полинома

При использовании частотных критериев осуществляется переход от характеристического полинома к характеристическому комплексу путем замены переменной по формуле

и исследуется поведение годографа в комплексной области.

Рассмотрим некоторые свойства характеристического комплекса.

имеет вид

Выделяя действительную и мнимую части, будем иметь

(3.301)

где

Так как функции и являются соответственно четной и нечетной, то

т.е. и

Следовательно, годограф характеристического комплекса при изменении в интервале симметричен относительно вещественной оси и полностью определяется своими значениями для Поэтому достаточно строить и рассматривать поведение годографа при изменении аргумента от 0 до

Второе свойство состоит в следующем. Определим действительную и мнимую части комплекса при и имеем

Таким образом, годограф всегда начинается () и заканчивается () на действительной оси.

Критерий Михайлова для дискретных систем. В основе данного критерия лежит принцип аргумента, который формулируется следующим образом. Если полином имеет корней, лежащих внутри единичной окружности, то приращение аргумента характеристического комплекса при изменении от 0 до составляет

т.е. вектор при изменении от 0 до должен последовательно обойти квадрантов комплексной плоскости в положительном направлении.

Исходя из данного принципа можно сформулировать условие устойчивости дискретной системы следующим образом. Для того, чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента характеристического комплекса при изменении от 0 до составляло величину ( — порядок системы):

т. е. годограф последовательно охватил квадрантов в положительном направлении. На рис. 3.36 показаны годографы характеристических комплексов устойчивых систем первого, второго и третьего порядков.

На рис. 3.37 приведен пример годографа, не соответствующего рассмотренному критерию. Система имеет третий порядок.

Рис. 3.36. Примеры годографов устойчивых систем

Рис. 3.37. Годограф неустойчивой системы

Исходя из вида годографа, приращение аргумента составляет величину следовательно, число корней, лежащих внутри единичной окружности, равно Один корень лежит вне указанной окружности. Система является неустойчивой.

Поскольку для устойчивых систем то — для нечетного — для четного Поэтому можно сформулировать следующее необходимое условие устойчивости:

— для нечетных

— для четных

Данное условие необходимо проверять до построения годографа. Если оно не выполняется, то система неустойчива.

Критерий устойчивости Найквиста. Данный критерий используется для исследования устойчивости замкнутых систем (рис. 3.21), исходя из вида годографа амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы. Как показано в п. 3.4.7,

Пусть тогда

Рассмотрим вспомогательную функцию

(3.302)

Особенностью функции является то, что ее числителем является характеристический полином замкнутой системы, а знаменателем — характеристический полином разомкнутой системы. Отметим также, что единичная обратная связь не увеличивает порядок системы. Действительно, для физически реализуемых систем степень полинома не превосходит степень полинома Поэтому характеристический полином имеет ту же степень, что и полином

Воспользуемся рассмотренным выше принципом аргумента для определения приращения аргумента функции при изменении от 0 до Так как

то

(3.303)

Пусть разомкнутая система является неустойчивой и ее характеристический полином имеет корней, лежащих вне единичной окружности, тогда

(3.304)

Пусть замкнутая система является устойчивой, тогда все корни характеристического полинома лежат внутри единичной окружности и

(3.305)

Функции (3.304) и (3.305) позволяют определить приращение аргумента для функции

(3.306)

На основе формулы (3.306) можно сформулировать следующий критерий устойчивости. Для того, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф функции при изменении от 0 до проходил в комплексной плоскости через квадрантов в положительном направлении.

Согласно (3.303), имеем

т.е. годограф функции представляет собой сдвинутый вправо годограф амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы Поэтому можно сформулировать критерий устойчивости по отношению к годографу Для того, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф при изменении от 0 до обходил точку в положительном направлении раз ( — число полюсов передаточной функции разомкнутой системы, лежащих вне единичной окружности).

Системы управления проектируют, как правило, из устойчивых элементов, поэтому разомкнутые системы в большинстве случаев являются устойчивыми ().В этом случае для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывал точку (рис. 3.38).

Рис. 3.38. К иллюстрации критерия устойчивости Найквиста

По степени удаленности годографа от точки можно судить о величине относительной устойчивости замкнутой системы. Для оценки относительной устойчивости используют два показателя — запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки пересечения годографа отрицательной части действительной оси по отношению к точке Чем меньше эта удаленность, тем менее устойчивой будет система, тем меньшим будет запас устойчивости по амплитуде (рис. 3.39). Обычно эта величина выражается в децибелах и вычисляется по формуле

где — частота, соответствующая точке пересечения действительной оси. На частоте фазовый сдвиг составляет 180°.

Запас устойчивости по фазе определяется углом между лучом, исходящим из начала координат и проходящим через точку пересечения годографа с единичной окружностью, и отрицательной частью действительной оси (рис. 3.39).

В точке пересечения годографом единичной окружности коэффициент передачи разомкнутой системы равен единице. Частота, соответствующая этой точке, называется частотой среза.

Рис. 3.39. К иллюстрации запасов устойчивости по амплитуде и фазе

Таким образом, запас устойчивости по амплитуде определяется в точке, где фаза принимает значение –180°, а запас устойчивости по фазе — в точке, где коэффициент передачи равен единице. Соответственно эти показатели могут определяться при совместном рассмотрении амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик дискретной системы.

Очевидным является тот факт, что увеличение коэффициента передачи разомкнутой системы уменьшает запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

3.6.4. Исследование устойчивости методом функций Ляпунова

Второй метод Ляпунова является универсальным инструментом исследования устойчивости нелинейных нестационарных систем. Метод был разработан для дифференциальных уравнений и позднее распространен для систем, описываемых разностными уравнениями.

Скалярная функция является функцией Ляпунова для системы

(3.307)

если:

1) она непрерывна по и

2) при любых

3)

Таким образом, определение функции Ляпунова для разностных уравнений аналогично непрерывному случаю с точностью до замены производной по времени от функции на конечную разность

Теорема 3.3. Равновесное состояние асимптотически устойчиво, если для системы (3.307) существует функция Ляпунова. Кроме того, если выполнено условие где при то равновесное состояние асимптотически устойчиво при любых начальных условиях.

Основная трудность при использовании метода функций Ляпунова состоит в построении подходящей функции Для линейных систем часто используют квадратичную форму

(3.308)

Приращение функции Ляпунова для линейной системы

имеет вид

Для того чтобы была функцией Ляпунова, необходимо и достаточно существование матрицы удовлетворяющей уравнению

(3.309)

где — некоторая матрица.

Уравнение (3.309) называется уравнением Ляпунова для дискретных линейных систем. Можно показать, что симметричная положительно определенная матрица — решение уравнения (3.309) — существует, если все собственные числа матрицы лежат внутри единичной окружности, т. е. система устойчива.

3.6.5. Оценка качества управления

Оценка качества управления выполняется на основе анализа переходной функции, т.е. по кривой переходного процесса. Так же как и для непрерывных систем, оценивается перерегулирование, время регулирования и точность отработки заданных воздействий. Остановимся более подробно на оценке точности работы системы в установившемся режиме.

Ошибка отработки системой заданного воздействия определяется зависимостью

(3.310)

Индекс «1» у функции означает, что рассматривается функция, нормированная по аргументу относительно периода дискретизации

Установившаяся ошибка в дискретные моменты времени оценивается по формуле

Зависимость (3.310) в явном виде имеет место при замыкании системы единичной обратной связью, что соответствует структурной схеме, изображенной на рис. 3.20. Выразим ошибку через входное воздействие. Для рассматриваемой системы имеем

откуда следует

(3.311)

Непосредственно выразить из уравнения (3.311) невозможно. Воспользуемся для нахождения Z -преобразованием; имеем

(3.312)

Из выражения (3.312) следует

(3.313)

где — передаточная функция системы по ошибке.

Так как нас интересует значение ошибки в установившемся режиме, то согласно теореме о конечном значении решетчатой функции имеем

или

(3.314)

Зависимостью (3.314) можно пользоваться для нахождения величины ошибки. Однако выявить влияние свойств системы на точность отработки отдельных типов сигналов, используя формулу (3.314), затруднительно.

Положим, что передаточная функция системы по ошибке не имеет полюса в точке тогда возможно разложение этой функции в ряд Тейлора:

(3.315)

где

(3.316)

Подставим (3.315) в выражение (3.313), тогда будем иметь

(3.317)

Согласно свойствам Z -преобразования, умножение изображения на эквивалентно во временной области взятию k -й разности от оригинала. Учитывая это, выражение (3.317) можно записать во временной области следующим образом:

или

(3.318)

Коэффициенты входящие в (3.318) и определяемые по формуле (3.316), называются коэффициентами ошибок. Величины, обратные им, называются добротностями. Коэффициенты называются соответственно коэффициентами ошибок по положению, скорости и ускорению.

Порядок астатизма системы определяется исходя из значений коэффициентов . Если все коэффициенты то система является статической. Если то система имеет первый порядок астатизма, если то система имеет второй порядок астатизма и т.д.

Пример 3.17. Найти установившуюся ошибку в дискретной системе, если передаточная функция разомкнутой ее части

входное воздействие —

Передаточная функция системы по ошибке будет

Коэффициент вычислять нет необходимости, поскольку

Таким образом, система имеет астатизм первого порядка. Установившееся значение ошибки определяется формулой

Отметим также, что астатизм соответствующего порядка можно определить по кратности полюса передаточной функции или кратности нуля передаточной функции в точке

Если система имеет астатизм нулевого порядка, то она будет иметь нулевую ошибку на ступенчатое воздействие. Если астатизм второго порядка, то ошибка будет нулевой при ступенчатых и линейно изменяющихся воздействиях.

Кроме этого, заметим, что оценивать установившуюся ошибку системы на линейно изменяющийся входной сигнал неправомерно. Поскольку при сигнал вида также будет бесконечно большим, то такие сигналы не существуют. Линейно изменяющийся сигнал характеризуется, прежде всего, скоростью изменения — величиной Таким образом, если система обладает астатизмом первого порядка и при скорость изменения входного сигнала по модулю не превосходит то установившаяся ошибка будет не выше той, которая имеет место при линейно изменяющемся сигнале.

1 Названия тесно связаны с проблемой наблюдаемости и управляемости объектов управления, широко используемых в задачах синтеза.