Дифференцирование изображений

Если решетчатая функция является оригиналом и ей соответствует изображение то справедлива зависимость

Действительно,

Операция дифференцирования рядов не всегда является правомерной. Почленное дифференцирование ряда возможно, если ряд, составленный из производных, сходится равномерно [112]. Рассмотрим абсциссу абсолютной сходимости ряда

Абсциссы абсолютной сходимости исходного ряда и ряда после дифференцирования совпадают, поэтому ряд сходится равномерно в области В соответствии с этим операция дифференцирования для исходного равномерно сходящегося ряда является правомерной.

Для Z -преобразования данное свойство будет выглядеть следующим образом:

Пример 3.10. Найти с использованием данного свойства Z -изображение функции

Имеем

Ниже приведена краткая таблица D - и Z -преобразований (табл. 3.1) для некоторых оригиналов (наиболее часто используемых в теории автоматического управления решетчатых функций).

Таблица 3. 1

D - и Z -изображения некоторых оригиналов

№	Оригинал	D -изображение	Z -изображение

Вначале установим связь между преобразованием Лапласа непрерывных функций и дискретным преобразованием Лапласа соответствующих им решетчатых функций.

Дискретное преобразование Лапласа по переменной для решетчатой функции определяется формулой

Воспользуемся данной формулой для нахождения соответствующих связей. Решетчатую функцию можно получить из порождающей ее функции следующим образом:

тогда

(3.26)

Функция является оригиналом и ей соответствует изображение Они связаны преобразованием

(3.27)

Подставляя (3.27) в (3.26), получим

Интеграл Лапласа при где — показатель роста оригинала, сходится равномерно по относительно параметра поэтому в последнем выражении порядок интегрирования можно изменить. Соответственно имеем

(3.28)

Если положить то ряд будет сходиться равномерно и замена порядка интегрирования и суммирования является правомерной. Положим, что это условие выполняется. Для вычисления значения ряда используем формулу суммы членов геометрической прогрессии:

Тогда выражение (3.28) запишется в виде

(3.29)

Функция в полуплоскости является аналитической. Функция в этой же полуплоскости имеет только простые полюсы поэтому данный интеграл можно вычислить, используя теорию вычетов.

Соответственно будем иметь

Таким образом,

(3.30)

Формула (3.30) устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованием Лапласа для непрерывной и соответствующей ей дискретной функциями.

3.3.4. Теорема Котельникова–Шеннона. Эффект поглощения частот.
Предварительная фильтрация

Теорема Котельникова–Шеннона. Непрерывный сигнал Фурье преобразование которого равно нулю вне интервала однозначно представляется своими значениями в равностоящих точках, если частота квантования При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

(3.31)

Доказательство.Предположим, что квантование начинается при Используя Фурье-преобразование, получим соотношение для идеального квантователя:

(3.32)

Заметим, что формула (3.32) получается по аналогии с выводом уравнения (3.14) с учетом, что Фурье-преобразование отличается от преобразования Лапласа заменой на и тем, что интегрирование ведется от до тогда как в S -преобразовании интегрирование ведется на промежутке от 0 до Формулу (3.32) часто называют дискретным преобразованием Фурье.

С другой стороны, используя соотношения (3.13) и находим

(3.33)

Таким образом, аналогично (3.30) находим

(3.34)

При выполнении условия теоремы спектр входного сигнала связан со спектром выходного сигнала идеального квантователя соотношением

(3.35)

и однозначно представим своими значениями в равностоящих точках

Формулу (3.31) можно получить, используя обратное преобразование Фурье и соотношения (3.34) и (3.35):

откуда с учетом получаем (3.31).

Таким образом, теорема Котельникова–Шеннона диктует условие выбора частоты дискретизации. Очевидно, что на практике не существует сигналов, Фурье-преобразование которых равно нулю вне некоторого конечного интервала Следует также иметь в виду, что измерению сигнала, как правило, сопутствуют высокочастотные помехи. Как же на практике осуществлять корректный выбор частоты дискретизации, помня при этом, что высокая частота дискретизации означает большое быстродействие процессора и, следовательно, стоимость? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим более подробно механизм квантования. Вернемся к соотношению (3.34) или к соответствующей формуле (3.8)

для квантователя с конечной шириной импульса. Очевидно, что квантователь является генератором гармоник и на его выходе воспроизводится как спектр входного сигнала так и дополнительные составляющие на частотах, кратных частоте квантования. Вследствие этого невозможно выделить составляющие сигнала на частотах Поэтому говорят, что частота квантованного сигнала «поглощает» частоты исходного непрерывного сигнала. Это явление называется эффектом поглощения частот.

При локализации спектра непрерывного сигнала в конечном диапазоне и выполнении условия теоремы Котельникова–Шеннона исходный спектр будет «тиражироваться» в высокочастотной области (рис. 3.5, а). Заметим, что при квантовании с конечной шириной импульса интенсивность высокочастотных составляющих падает с ростом частоты ( — убывает), а «хорошая» система обладает свойством фильтра низких частот. Следовательно, влияние высокочастотных составляющих на качество функционирования системы должно быть несущественным. Значительно более сложные проблемы возникают при (рис. 3.5, б). Составляющие спектра исходного сигнала после дискретизации появятся не только в высокочастотной области, но и на низких частотах. Эти низкочастотные поглощенные сигналы будут рассматриваться системой управления как дополнительные полезные сигналы, хотя первоначально они таковыми не являются.

Пример 3.11. Пусть непрерывный сигнал состоит из полезной постоянной составляющей и помехи Предположим, что непрерывный сигнал дискретизуется идеальным квантователем, частота дискретизации которого выбрана исходя из спектра полезного сигнала Очевидно, что условия теоремы для помехи не выполнены (). На рис. 3.8 с учетом линейности операции квантования и коэффициента (3.33) представлены графики исходных сигналов, дискретизованный сигнал, а также их спектры. После дискретизации частота неотделима от частоты

Рис. 3.8. Графики исходных и дискретизованного сигналов

Примером практического использования эффекта «поглощения» частотой является стробоскоп. В стробоскопических приборах частота выбирается таким образом, чтобы высокочастотный гармонический непрерывный сигнал в результате квантования был неотделим от сигнала нулевой частоты.

Для получения основных низкочастотных поглощенных частот можно воспользоваться графической процедурой. Спектр непрерывного сигнала воспроизводят на листе бумаги и в точках абсцисс, соответствующих нечетным кратным частотам проводят вертикальные штриховые линии, по которым затем «мысленно» сгибают листы. Дискретный спектр получается суммированием составляющих на каждом листе с соответствующей составляющей. Поясним процедуру на нескольких примерах.

Пример 3.12. Рассмотрим условия предыдущего примера и определим наименьшую поглощенную частоту для сигнала помехи (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Определение поглощенной частоты

На рисунке пунктирными кривыми показано зеркальное отображение относительно линии с абсциссой

Пример 3.13. Спектр непрерывного сигнала показан на рис. 3.10, а. Процедура построения спектра дискретного сигнала показана на рис. 3.10, б, в.

Рис. 3.10. Преобразование непрерывного спектра при дискретизации

Частоту играющую важную роль в теореме Котельникова–Шеннона (), называют частотой Найквиста. Важно отметить, что искажение спектра непрерывного сигнала в случае нарушения условия тем меньше, чем ниже интенсивность спектра исходного сигнала в диапазоне Поэтому если основному сигналу сопутствует высокочастотная помеха, а частота дискретизации выбрана из граничной частоты спектра основного сигнала, то для уменьшения искажений при дискретизации целесообразно провести предварительную фильтрацию перед квантованием. Простейшим решением является введение непрерывного фильтра перед аналого-цифровым преобразованием. Для этих целей на практике часто используются фильтры Баттерворса и Бесселя (см. т.2).

3.3.5. Восстановление сигналов

Операция преобразования последовательности чисел в непрерывную функцию называется восстановлением сигнала.

Таким образом, восстановление — инверсия операции квантования. В системах управления с ЭВМ операция восстановления реализуется цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП), который преобразует управляющую цифровую последовательность в непрерывное воздействие на объект (рис. 3.3). Среди алгоритмов, реализующих эту операцию, выделяют восстановление Шеннона и экстраполяторы.

В случае периодического квантования восстановление Шеннона проводится по формуле (3.31) с заменой бесконечного интервала суммирования на конечный. Однако эта операция требует не только знания предшествующей последовательности чисел, но и последующей, т.е. не является причинно-следственной. По этой причине такое восстановление не используется в системах управления, но может быть использовано в коммуникационных системах, допускающих запаздывание в приеме и восстановление информации.

Экстраполяторы осуществляют приближение (аппроксимацию) исходного сигнала многочленами, коэффициенты которых вычисляются по последовательности чисел

Простейшее восстановление экстраполятором нулевого порядка осуществляется по формуле

(3.36)

что соответствует кусочно-постоянной, непрерывной справа функции и равной сигналу квантования в моменты квантования.

Более сложное восстановление можно получить, применив экстраполятор первого порядка по формуле

На рис. 3.11 показан исходный непрерывный сигнал его дискретные значения при периодическом квантовании и функции приближения при использовании экстраполяторов нулевого и первого порядков.

Рис. 3.11. Квантование непрерывного сигнала и его восстановление экстраполяторами
нулевого () и первого порядка ()

Очевидно, что с уменьшением шага дискретизации и увеличением порядка экстраполяторного многочлена точность аппроксимации повышается.

Однако с увеличением порядка усложняется техническая реализация операции восстановления и исходный сигнал должен иметь непрерывные высшие производные. Поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили экстраполяторы нулевого порядка (ЭНП).