Ортогональные системы векторов

Векторное пространство , в котором скалярное произведение векторов и определяется формулой , является евклидовым.

Два вектора и называются ортогональными, если .

Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны: при .

Базис -мерного евклидова пространства называется ортогональным, если при .

Каждый вектор единственным образом раскладывается по базису : , где числа называемые координатами вектора в ортогональном базисе , определяются по формулам: ().

Ортогональной составляющей вектора относительно ортогональной системы векторов называется вектор , где ().

Процессом ортогонализации системы векторов называется построение ортогональной системы ненулевых векторов по формулам: , , ,…, , где - ортогональные составляющие векторов относительно ортогональных систем векторов (). Если система векторов линейно зависима, то число векторов в ортогональной системе будет меньше .

1.123 Выяснить будут ли ортогональными следующие системы векторов.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.124 Проверить ортогональность систем векторов и дополнить их до ортогональных базисов.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.125 Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , , .

1.126 Найти координаты вектора в ортогональном базисе: , , .

1.127 Найти ортогональную составляющую вектора относительно ортогональной системы векторов .

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 1.128-1.133 применяя процесс ортогонализации построить ортогональную систему векторов.

1.128 .

1.129 .

1.130 .

1.131 .

1.132 .

1.133 .