Матрицы. Матрицы и называются равными ипишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (, ): , состоящая из строк и столбцов. Если необходимо указать её размер, то пишут .

Матрицы и называются равными ипишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:

, , .

Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .

Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:

, , .

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, для которой: , , .

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , , ,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу: , , .

Вообще говоря, .

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут ~ .

Обратной к квадратной матрице называется матрица того же порядка такая, что: , где - единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель .

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если -невырожденная.

Матричными называются уравнения: , , , где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если матрицы , -невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .

В задачах 1.30-1.31 найти линейные комбинации матриц:

1.30.

1.31.

В задачах 1.32-1.35 умножить матрицы:

А); б).

А); б).

1.34 а) ; б) ;

В); г).

А); б).

1.36 Выполнить действия над матрицами

а) ;

Б).