Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема. Пусть – знакопеременный ряд. Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится.

В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому заданному числу.

Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда к ряду можно применять все признаки, используемые для рядов с положительными членами.

Определение. Знакочередующимсяназывается ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд:

(2)

или

(3)

где все – положительные действительные числа.

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд (2) или (3) сходится, если выполняются условия:

(4)

(абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

(общий член ряда стремится к нулю при ).

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный знакопеременный ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Так как

,

то

.

Поскольку ряд , являющийся рядом Дирихле с , сходится, то на основании первого признака сравнения, так как сходится больший ряд, то сходится и меньший ряд . А значит, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Сравним данный ряд с рядом Дирихле , который расходится, так как .

Так как

,

то по второму признаку сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный знакочередующийся ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

1)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится условно.

3.5. Функциональные ряды: основные определения

Определение. Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным, т.е. это ряд вида

(5)

Придавая аргументу определенное значение, мы получим числовой ряд.

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий ему числовой ряд .

Определение. Множество всех тех значений , при которых функции определены и функциональный ряд (5) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области , если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд .

Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области , если в этой области ряд, составленный из модулей его членов, расходится, а сам ряд сходится.

Замечание. Исследуя функциональный ряд на абсолютную сходимость можно применять признаки Даламбера или Коши. Именно, если

или

,

то для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (5) следует решить функциональное неравенство , а для определения области расходимости – функциональное неравенство . При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е. в точках, описываемых уравнением , требуется исследовать соответствующие числовые ряды, получаемые подстановкой граничных точек в функциональный ряд (5).

Пример 8. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

По признаку Коши

.

Таким образом, интервал абсолютной сходимости ряда:

;

;

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд

,

который расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю, т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Аналогично, при , получим расходящийся ряд

.

Следовательно, согласно последнему замечанию

ряд при

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. 1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Зафиксируем и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

Сравним ряд из абсолютных величин с рядом Дирихле , который расходится, т.к. . Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

.

Так как получили независящий от и отличный от нуля предел, то при любом расходится и ряд .

Следовательно, ряд при любом не является абсолютно сходящимся рядом.

2) Исследуемый ряд при всех является знакочередующимся рядом. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

а)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого и .

б) При всех выполняется

.

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда при любом выполняются условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится условно при всех .