Признак сходимости

Свойства:

1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков.
Если сходится какой-либо из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна , то и ряд , где – произвольное число, также сходится и его сумма равна .

3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд также сходится и его сумма равна .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при стремлении к бесконечности, т.е.

.

Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю при стремящемся к бесконечности, т.е. если не выполняется условие

,

то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но недостаточным, т.е. если , то ряд может, как сходится, так и расходится. Например, ряд расходится, хотя .

Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, доказать расходимость ряда .

Решение. Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдем :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.