Непрерывные случайные величины. А) Найти коэффициент и построить график

2.1.33. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей вида:

а) Найти коэффициент и построить график ;

б) найти функцию распределения и построить ее график;

в) вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

г) найти моду и медиану распределения случайной величины Х;

д) вычислить математическое ожидание и дисперсию .

2.1.34. Случайная величина имеет плотность вероятностей, изображенную на рис. 2.6 (закон распределения Симпсона или закон равнобедренного треугольника на интервале ):

Рис. 2.6.

Найти:

а) параметр и написать выражение для плотности вероятностей;

б) функцию распределения и построить её график;

в) числовые характеристики случайной величины : ;

г) моду и медиану распределения случайной величины Х;

д) вероятность попадания случайной величины в интервал .

2.1.35. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятностей:

Найти:

1) коэффициент и построить график ;

2) функцию распределения и построить её график;

3) вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал ;

4) моду распределения;

5) медиану распределения;

6) математическое ожидание и дисперсию .

2.1.36. Дана функция

При каком значении функция является плотностью вероятностей случайной величины ? Найти функцию распределения и построить графики и . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал . Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

2.1.37. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид:

Найти коэффициент a, медиану и дисперсию случайной величины . Вычислить вероятность того, что уклонение величины от ее математического ожидания будет не более 0,5.

2.1.38. Случайная величина распределена по закону прямоугольного треугольника в интервале (см. рис. 2.7.):

Рис. 2.7.

Требуется:

1) написать выражение для плотности вероятностей ;

2) найти функцию распределения и построить её график;

3) найти вероятность ;

4) найти медиану распределения;

5) найти числовые характеристики случайной величины : .

2.1.39. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид:

Найти:

а) коэффициент A и функцию распределения;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.1.40. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины , имеющей в интервале плотность вероятностей .

2.1.41. Случайная величина X имеет плотность вероятностей (закон распределения Коши):

Найти:

а) коэффициент А; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины в интервал ;

г) математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2.1.42. Случайная величина имеет плотность вероятностей (закон распределения Лапласа):

.

Найти: а) коэффициент ; б) функцию распределения и построить графики и ; в) и .

2.1.43. Случайная величина имеет функцию распределения:

Найти:

а) плотность вероятностей величины и построить графики и ;

б) вероятность ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) моду и медиану распределения случайной величины Х.

2.1.44. Найти плотность вероятностей, математическое ожидание, дисперсию и медиану распределения случайной величины , имеющей функцию распределения:

2.1.45. Непрерывная случайная величина имеет функцию распределения вида:

Найти:

1) коэффициент ;

2) плотность вероятностей и построить графики и ;

3) вероятность попадания случайной величины в интервал

4) числовые характеристики и ;

5) моду и медиану распределения величины Х.

2.1.46. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид (закон распределения арксинуса):

Определить:

1) параметры и ;

2) плотность вероятностей ;

3) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

4) числовые характеристики и .

2.1.47. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти моду и медиану распределения величины Х.

2.1.48. Плотность вероятностей случайной величины имеет вид (закон распределения Симпсона на отрезке ):

Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.

2.1.49. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния от точки до центра круга.

2.1.50. Случайная величина , представляющая собой расстояние от точки попадания до центра мишени, имеет плотность вероятностей (закон распределения Релея):

Найти:

а) коэффициент и построить график ;

б) моду распределения случайной величины Х;

в) и ;

г) вероятность того, что в результате выстрела расстояние от точки попадания до центра мишени окажется меньше, чем мода.

2.1.51. Плотность вероятностей случайной величины представляет собой полуэллипс с полуосями и (см. рис. 2.8). Величина известна.

Рис. 2.8.

Найти: 1) величину ; 2) и ; 3) функцию распределения .

2.1.52. Доказать, что между центральными и начальными моментами первых четырёх порядков имеют место соотношения:

;

;

;

.

Вывести общую формулу:

.