кольцевой опорой

Program KRUG PLAST;

User Crt;

Const

; ; ; ;

TYPE

Matr: array [1..3, 1..3) of real;

Amatr: array[1..50, 1..3, 1..2] of real;

Var

NU1, NS: integer;

CCP, H, RR: real;

NN, KR: array [1..N] of integer;

RG; array[1..NU+1] of real;

{Функция для вычисления толщины}

Function DD (R; real): real;

Begin

DD:=E*EXP(3/LN(TOL(NS,R)))/12ccP;

End;

{Процедура общего вида начальных значений векторов}

Procedure NUS (Var Y: Matr);

Var

i, j: integer;

Begin;

For to 3 do

For to 2 ;

Y[2,1]:=1;

End;

{Процедура общего вида для вычисления постоянных интегрирования}

Procedure GUS (Var Y: Matr; Var c1, c2: real; Z: Amatr);

Begin;

c1:= -Y[2,2] / Y[2,1];

c2:= - c1*Y[1,1] - Y[1,2];

End;

{Процедура общего вида для вычисления правой части

уравнения}

Procedure FCT (R: real; Y: Matr; Var P: Matr);

k, i, j: integer;

F, G: Matr;

Begin

For to 3 do

For to 3

Begin

F[i,j]:= 0; G[i,j]:= 0;

End;

RP:= 1/R;

F[1,2]:= - 1;

F[3,3]:= CP*RR;

F[2,2]:= - F[3,3];

F[2,3]:= RR/DD(R);

F[3,2]:= RR*DD(R)*CCR;

G[3,2]:= -R*Q(NS,R);

For to 2 do

Begin

For to 3 do

Begin

P[i,j]:= 0;

For to 3 do P[i,j]:= P[i,j] + F[i,k]*Y[k,j];

End;

P[i,j]:= P[i,j] + G[i,j];

End;

End;

{Подпрограмма общего вида для интегрирования матричного уравнения методом Рунге-Кутта}

Procedure RKM (Var X: real; Var Y: Matr);

Var

i, j: integer;

Y1, P0, P1, P2, P3: matr;

Begin

FCT(X, Y, P0);

For to N do

For to M do

Y1[i,j]:= Y[i,j] + H*P0[i,j] / 2;

FCT(X+H/2, Y1, P1);

For to N do

For to M do Y1[i,j]:= Y[i,j] + P1[i,j] / 2;

FCT(X+H/2, Y1, P2);

For to N do

For to M do Y1[i,j]:= Y[i,j] + H*P2[i,j] / 2;

FCT(X+H, Y1, P3);

For to N do

For to M do

Y1[i,j]:= Y[i,j] + H*P0[i,j] + 2*P1[i,j] + P3[i,j] / 6;

X:= X + H;

End;

{Процедура общего вида для расчета пластины методом начальных параметров}

Var

Y: Matr;

Z: Amatr;

R, C1, C2, MR, MT, W, TETA: real;

I, J, K, K1, IK, NP, KP, IP: integer;

S: array[1..N] of real;

RZ, HZ, DZ, QRZ: array[1..50] of real;

Begin

Clrscr;

; ;

NUS(Y);

For to NU do K1:= K1 + KR[i];

K1:= K1 + NU;

For to NU do

Begin

R:= RG[NS];

H:= (RG[NS + 1] - RG[NS]) / NN[NS];

NP:= NN[NS] + 1;

For to KP do

Begin

;

;

HZ[K]:= TOL(NS, R);

DZ[K]:= DD(R);

QRZ[K]:= Q(NS, R);

For to N do

Begin

For to M do Z[K, I, J]:=Y[I, J];

End;

IF(IP<>KP) Then

For IK:= 1 to NP d

RKM(R,Y)

Else break;

End;

GUS(Y, C1, C2, Z);

Writeln ('C1 =', C1, 'C2 =', C2);

Writeln:

Writeln ('R(м)', 'H(м)', 'Q(Н/м)', 'W(м)', 'Mr(Нм/м', 'Mt(Нм/м)',

'Teta(рад)');

Writeln;

For to K1 do

Begin

For to N do S[j]:= C1*Z[i, j, 1] + Z[i, j, 2];

W:= S[1] + C2;

MR:= S[3] / RZ[i];

MT:= DZ[i]*CCP*S[2] / RZ[i] + CP*MR;

TETA:= S[2];

Writeln (RZ[i]: 10, '',NZ[i]: 10, '',QRZ[i]:10, '',W:10, '',

MR:10, '',MT:10, '',TETA:10);

End;

Begin {Основная программа}

KR[1]:= 4; KR[2]:= 8;

NN[1]:= 16; NN[2]:= 80;

RG[1]:= 0.02; RG[2]:= 0.04; RG:= 0.125;

NU1:= NU + 1;

CCR:= 1 - CR*CR;

PLAST;

Readln;

END.

Программа состоит из девяти программных единиц. В основную программу вводятся следующие данные о пластине:

- количество участков;

- количество границ участков ();

- массив радиусов (в метрах) границ участков, включая внутренний и внешний радиусы пластины;

- массив числа шагов интегрирования на каждом участке;

- массив числа шагов печати по участкам; при этом каждый шаг печати должен включать целое число шагов интегрирования, поэтому каждый элемент массива NN должен нацело делиться на соответствующий элемент массива KR (при вводе исходных данных это условие нужно выполнить).

Основная программа обращается к подпрограмме PLAST (NU, NU 1, NN, KR, RG), реализующей алгоритм расчета пластины методом начальных параметров. В описательной части подпрограммы PLAST задаются следующие массивы:

- матрица решений ;

- рабочие массивы подпрограммы интегрирования раз мерностью ;

- одномерные массивы, в которых запоминаются значения радиуса, толщины, жесткости на изгиб и поперечной силы в точках вывода информации;

- трехмерный массив, предназначенный для запоминания матрицы решений в тех же точках;

- одномерный рабочий массив, используемый при обработке результатов;

- одномерные массивы.

При этом максимально возможное число точек вывода не должно превышать 50, в противном случае нужно изменить размеры следующих массивов: RZ, HZ, DZ, QRZ, Z.

Вначале вводят значения следующих величин:

- число столбцов м строк матрицы Y ();

- начальные значения счетчиков точек вывода результатов и общего числа точек вывода.

После обращения в подпрограмме NUS (Y), формирующей начальное значение матрицы , где - левая граница интервала интегрирования, вычисляется общее число точек вывода результатов счета.

Далее имеем три вложенных цикла:

1) внешний цикл - по номеру участка NS;

2) промежуточный цикл - по номеру точки вывода IP;

3) внутренний цикл - по номеру шага интегрирования IK.

Во внешнем цикле вычисляются значение радиуса R внутреннего контура участка, шаг интегрирования Н, число шагов интегрирования в шаге печати I и число точек вывода результатов KP на участке; затем осуществляется пере ход к промежуточному циклу. В этом цикле, повторяющемся КР раз, текущее значение счетчика К точек меняется на единицу, в массивы RZ, HZ, DZ, QRZ, Z заносятся значения радиуса, толщины, жесткости, поперечной силы и матрицы Y. Во внутреннем цикле вызывается подпрограмма интегрирования RKM,

осуществляющая интегрирование на один шаг матричного уравнения (16.16). После завершения выполнения внутреннего цикла подпрограмма PLAST вызывает подпрограмму GUS (Y, C 1, C 2, Z), вычисляющую постоянные интегрирования

. Затем в повторяющемся К 1 раз цикле по номеру I точки вывода определяется вектор решения y (r) по формуле (16.15) и производится печать результатов счета. При этом на печать выдаются следующие величины: радиус, толщи

на, поперечная сила, прогиб, радиальный и окружной моменты и угол поворота нормали. На границах участков вывод результатов выполняется дважды (слева и справа от границы), так как при скачкообразном изменении толщины жесткость на изгиб и момент имеют разрывы.

Программа PLAST не требует вмешательства пользователя. Исключением является случай нагружения пластины внешним моментом, распределенным по окружности, которая не совпадает ни с одним из контуров пластины.

В подпрограмме NUS (Y) задаются начальные значения векторов ,

на внутреннем контуре () пластины в соответствии с граничными условиями на этом контуре.

В подпрограмме GUS (Y, C 1, C 2, Z) вычисляются последовательно постоянные интегрирования: - из граничного условия, наложенного на q или

на внешнем () контуре, и - из граничного условия, наложенного на про

гиб .

Если кольцевая опора расположена в K - й точке вывода результатов, то определяется выражением:

При подсчете номера К точки вывода, соответствующей расположению кольцевой опоры (), следует помнить, что границы участков соответствуют двум точкам вывода.

Если кольцевая опора расположена на внутреннем контуре, то , а

если опора расположена на внешнем контуре, то вместо элементов массива Z в

выражении (16.17) можно использовать элементы первой строки массива Y, сох

ранив при этом массив Z в списке формальных параметров подпрограммы GUS.

Подпрограмме RKM (X, Y) осуществляет интегрирование матричного уравнения на одном шаге методом Рунге - Кутта,

где X - независимая переменная R;

Y - матрица решений на входе и выходе из этой программы;

- рабочие массивы размерностью ;

H - шаг интегрирования.

Правая часть уравнения (16.16) вычисляется в подпрограмме FCT (R, Y, P).

Подпрограммы RKM и FCT не требуют вмешательства пользователя.

Подпрограммы - функции TOL (R, NS) и Q (R, NS) вычисляют толщину h и поперечную силу Q в зависимости от радиуса R и номера участка NS.

В подпрограмме - функции DD (R) определяется жесткость на изгиб по формуле .

Таким образом, для расчета пластины пользователь должен составить основную программу, подпрограммы NUS, GUS и две подпрограммы - функции

TOL и Q.

Программа приведена для конкретной задачи (пример 16.7). Однако расчет других пластин требует внесения в программу лишь небольших изменений.

Пример 16.7. Дляпредставленной на рис.16.22 пластины построить эпюры в зависимости от радиуса и определить коэффициент запаса по текучести. При расчете принять

, , ,

Расчет эквивалентного напряжения провести по теории начала текучести Хубера-Мизеса.

Решение. Пластина имеет два участка с различными законами изменения толщины и поперечной силы:

h (r)=		на 1 - м уч. (NS = 1)
на 2 - м уч. (NS = 2)

Рис.16.22. Расчетная схема пластины, эпюры , , и отсеченные части пластины для определения

Приведенные формулы для вычисления толщины пластины вводятся в подпрограмму-функцию TOL (R, NS).

Определяем поперечную силу [Н/м] из уравнения равновесия части пластины, ограниченной внутренним контуром и цилиндрическим сечением радиуса r. Эти уравнения имеют вид:

на 1-м участке (рис.16.22,b)

на 2-м участке (рис.16.22,b)

Q (r)=		на 1 - м уч. (NS = 1)
на 2 - м уч. (NS = 2)

Рис.16.23. Эпюры изменения толщины пластины h (r) и поперечной силы

Вычисление по этим формулам производится в подпрограмме-функции Q (R, NS). Граничное условие на внутреннем контуре () будет выполнено тождественно, если принять начальные значения векторов однородного и неоднородного решений в виде:

Таким образом, матрица решений на внутреннем контуре составляет:

Эта матрица формируется в подпрограмме NUS (Y), при этом все элементы матрицы Y приравниваются нулю, а затем элементу Y (2, 1) присваивается значение единицы.

Используя граничные условия на внешнем контуре ()

из выражения (16.15) получаем уравнения, откуда постоянные интегрирования:

Здесь - компоненты векторов решений , полученные интегрированием уравнения (16.16) с начальной матрицей . Эти формулы для определения постоянных вносятся в подпрограмму GUS.

В основную программу вносим число участков NU, равное двум и радиусы границ участков в метрах (0. 02; 0. 04; 0. 125) в массив RG (3). Принимаем число шагов печати: четыре шага - на первом участке и восемь - на втором. Эти числа задаются массивом KR (2). В массиве NN (2) задается число шагов интегрирования по участкам - соответственно 16 и 80.

Операторы присваивания определяют значения коэффициента Пуассона

() и модуля упругости (). По результатам счета построены зависимости w и от радиуса (рис.16.22, а).

Из анализа распеделения моментов и закона изменения толщины можно установить, что опасной является точка В, расположенная у лицевой () поверхности пластины на радиусе . Здесь ;

; . Напряженное состояние в этой точке - двухосное растяжение.

Вычислим напряжения и в её окрестности:

По теории начала текучести Хубера-Мизеса для двухосного напряженного состояния эквивалентное напряжение определяется по формуле:

и из расчета на прочность по допускаемым напряжениям определяем коэффициент запаса по текучести:

Пример 16.8. Дляпластины без отверстия переменной толщины (рис.16.24), опертой по окружности радиуса и нагруженной равномерно распределенным давлением , построить эпюры в зависимости от радиуса При расчете принять

, , , ,

, ., .

Рис.16.24. Эпюра h(r)

Решение. Пластина имеет три участка: 1-й участок

2-й участок 3-й участок

Так как пластина без отверстия, то введен "разгонный участок", радиус которого .

Зададим на первом участке 3 шага печати, на втором и третьем - 5 шагов.

Также примем 15 шагов интегрирования на первом и по 30 шагов интегрирования на втором и третьем участках.

Толщина h в зависимости от радиуса изменяется следующим образом:

h (r)=		на 1 - м уч. (NS = 1)
на участках 2 и 3 (NS = 2, NS=3)

Вычислим поперечную силу. Сначала находим опорную реакцию из условия равновесия всей пластины (рис.16.24):

Поперечную силу на первом и втором участках определяем из уравнения

равновесия (16.25, а):

Поперечную силу на третьем участке определяем из уравнения равновесия (16.25, b):

Таким образом,

Q (r)=		на 1 и 2 - м уч. (NS = 1, NS=2)
на 3-уч.(NS=3)

Рис.16.25. Отсеченные части пластины и эпюра

Матрица начальных значений векторов решений , обеспечивающих выполнение граничного условия для пластины без отверстия при , имеет вид:

где - жесткость на изгиб в центре пластины ().

Для задания этой матрицы в подпрограмме NUS нужно вставить следующий оператор:

Y[3,1]=2E11*0.5*3/12/7

Постоянную интегрирования , имеющую смысл угла поворота нормали на радиусе , найдем из граничного условия на внешнем контуре при . Это условие с учетом выражения (16.15) принимает вид:

где - компоненты матрицы решений при .

Постоянную , имеющую смысл прогиба в центре пластины, определим из условия равенства нулю прогиба на окрестности радиуса , совпадающей с границей между вторым и третьим участками. Номер К точки вывода

результатов (с учетом принятой разбивки на шаги печати) при этом равен 10 или 11 (конец второго или начало третьего участков). В подпрограмме GUS, определяющей постоянные интегрирования, необходимо заменить операторы на следующие:

c1:= -Y[3,2] / Y[3,1]

c2:= -c1*Z[10,1,1] - Z[10,1,2]

Остальные подпрограммы остаются без изменений. По результатам расчета построены эпюры .