Расчет оболочек вращения по безмоментной теории

Глава 16. Пластины и оболочки

Расчет оболочек вращения по безмоментной теории

Оболочкой называется тело, толщина которого во много раз меньше двух других размеров. Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Для расчета оболочек и пластин используют гипотезы Кирхгофа-Лява, позволяющие свести трехмерную задачу к одномерной:

1. Гипотеза прямых нормалей. Точки, расположенные на линии, нормальной к срединной поверхности до ее деформации, остаются на прямой, перпендикулярной к упругой поверхности оболочки или пластины. При этом расстояния между этими точками не изменяются.

2. Гипотеза о не надавливании слоев. Согласно этой гипотезе, напряжениями, действующими в направлении, перпендикулярном срединной поверхности, можно пренебречь.

Будем рассматривать оболочки постоянной толщины h, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения (рис.16.1, а), и находится под действием осесимметричных нагрузок (равномерно распределенным давлением или заполнена жидкостью с удельным весом (, координата отсчитывается от свободной поверхности жидкости) [13].

Если двумя смежными меридиональными и нормальными (коническими) сечениями выделить элемент (рис.16.1, a), то по его граням в силу симметрии оболочки и нагрузки будут действовать только главные напряжения: меридиональные и окружные . Эти напряжения по толщине стенки оболочки

распределены равномерно.

Напряжения и связаны между собой уравнением Лапласа:

где и - радиусы кривизны меридионального и нормального сечений в рассматриваемой точке (рис.16.1, b); p - внешнее давление.

Второе уравнение для определения меридиональных напряжений удобнее составлять, проектируя на ось вращения (ось Оz) все силы, действующие на ча сть оболочки, отсеченной нормальным сечением (рис.16.1, b):

где - проекция на ось Оz равнодействующей всех внешних сил, приложенных к отсеченной части оболочки; - угол между нормалью к дуге меридиана и осью Oz. Проекция равнодействующей сил давления определяется при помощи

Рис.16.1. a - Расчетная схема тонкостенной оболочки; b - Оболочка нагружена давлением р; c - Оболочка заполнена жидкостью

двух теорем. Если оболочка нагружена внутренним давлением , то используется теорема № 1: "Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси":

где - площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную оси вращения - плоскость Оху (рис.16.1, b).

Если оболочка заполнена жидкостью с удельным весом (давление ; координата отсчитывается от свободной поверхности (рис.16.1, c), то используется теорема № 2: "Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (рис.16.1, c), то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью":

где - вес жидкости в объеме, расположенном над поверхностью ;

- объем области, ограниченной поверхностями , цилиндрической поверхностью радиуса и плоскостью .

Алгоритм расчета оболочек:

1. С помощью уравнений (16.1) и (16.2) определяем окружные и меридиональные напряжения и строим их эпюры по оси. Если одновременно имеются и жидкость и равномерное давление, то (16.2) есть сумма правых частей равенств (16.3) и (16.4).

2. По выбранной теории прочности находим . При этом учитываем,

что одно из главных напряжений равно нулю ( - радиальное напряжение),

а два других совпадают с и . Напряженное состояние в оболочках вращения можно считать плоским.

3. Исходя из условия прочности проводим рас чет на прочность (проектировочный и поверочный). Величина допускаемых напряжений , как правило, занижается за счет возможной коррозии и для придания оболочкам большей жесткости.

В цилиндрических оболочках большой длины могут быть рассмотрены так называемые балочные нагрузки (как правило, крутящие моменты, продольные и поперечные силы) - комбинированная модель. При этом напряженное состояние оболочки есть суперпозиция напряжений от давления в оболочке и напряжений в тонкостенной балке. В силу малой толщины оболочки напряженное состояние ее элемента плоское, главные напряжения вычисляются по формуле:

где - напряжения, полученные суммированием и нормальных напряжений от растяжения-сжатия и изгиба.

Пример 16.1. С проектировать резервуар объемом , состоящий из трех частей: полусферы - R; цилиндра - L и конуса - S (рис.16.2, а), который нагружается газом под давлением р. Площадь поверхности резервуара должна быть минимальной при заданном объеме резервуара. Подобрать толщину стенки резервуара из условия прочности.

Рис.16.2. Тонкостенная оболочка: а - схема нагружения; b - часть сферической

оболочки; с - коническая часть оболочки; d - цилиндрическая часть резервуара;

е - эпюры напряжений

Исходные данные:

Решение. Нумерация характкрных участков оболочки и координатная ось Oz указаны на рис.16.2, а.

1. Сначала решаем задачу об оптимальных размерах резервуара. У резервуара три параметра: R - радиус полусферы, цилиндра и основания конуса; L - длина цилиндра и S - длина конуса. Оптимизацию проводим по всем трем переменным: R, L и S. Составляем два уравнения для вычисления: 1) объема резервуара и 2) площади поверхности резервуара [1]:

Здесь - длина образующей конуса. Проводим минимизацию площади поверхности бака:

Начальные значения корня:

Принимаем размеры резервуара:

Определяем угол наклона образующей конуса (см. рис.16.2, а):

При этих размерах:

2. Проктировочный расчет. Определение напряжений в оболочке. 2.1. Рассматриваем сферическое днище. Отсекаем коническим нормальным сечением часть сферической оболочки (рис.16.2, b) и составляем уравнение равновесия, проектируя все силы на ось z, , решив которое:

Из уравнения Лапласа находим окружное напряжение :

Для построения эпюры и в сферическом днище оболоч ки в полярной системе координат составляем программные модули:

Программный модуль для

Программный модуль для

Эпюры меридионального и окружного напряжений в поляр ной системе координат представлены на рис.16.3.

a. b.

Рис.16.3. Эпюры меридионального и окружного напряжений

в сферическом днище оболочки в полярной системе координат

По умолчанию полярные графики строятся от горизонтального радиуса, при этом угол a отсчитывается против хода часовой стрелки. У нас криволинейный участок оболочки начинается с 900, поэтому координата текущего сечения составляет a - 90 0, тогда .

На рис.16.3 построены два полярных графика для меридионального

и окружного напряжений в сферическом днище оболочки. В этих графиках в зависимости от угла a по радиусу R отложены значения и при изменении угла aот 900до 1800.

Эпюры меридионального и окружного напряжений для сферической части оболочки представлены на рис.16.2, е (в декартовой системе).

2.2. Рассматриваем цилиндрическую часть резервуара. Рассекаем цилиндрическую поверхность резервуара плоскостью, нормальной к оси и рассматриваем равновесие левой части (рис.16.2, с).

Уравнение равновесия:

Для круговой цилиндрической оболочки - бесконечность, вводится нажатием кнопки на панели инструментов Calculus; .

Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа:

откуда

Эпюры меридионального и окружного напряжений в декартовой системе координат для цилиндрической части резервуара показаны на рис.16.2, е.

2.3. Рассматриваем коническую часть резервуара (рис.16.2, d). На расстоянии z от вершины конуса рассекаем коническую поверхность резервуара коническим нормальным сечением. Радиус r окружности, полученной сечением срединной поверхности оболочки плоскостью, нормальной к оси симметрии, зависит от координаты z:

Радиусы кривизны

Из уравнения равновесия отсеченной части оболочки

получаем

Составив программный модуль, строим эпюру меридиональных напряжений (рис.16.4):

Наибольшее значение меридионального напряжения возникает в конической оболочке при z = S:

Окружные напряжения найдем из уравнения Лапласа

Программный модуль окружных напряжений (эпюра - рис.16.4)

Рис.16.4. Эпюры меридиональных и окружных напряжений в конической части резервуара в декартовой системе координат

Наибольшее значение окружного напряжения возникает в конической оболочке при z = S:

2.4. Из рис.16.5, е видно, что наибольшие напряжения возникают в конической оболочке при z = S. Для точки, принадлежащей срединной поверхности:

По четвертой теории прочности эквивалентное напряжение и условие прочности будет иметь вид:

откуда определяем толщину оболочки:

Это значение h увеличиваем с учетом коррозии и эрозии на один миллиметр и окончательно принимаем:

Пример 16.2. Подобрать толщину стенки резервуара (рис.16.5, а), наполненного жидкостью, удельный вес которой g.

Рис.16.5. Расчетная схема резервуара, наполненного жидкостью, три отсеченных участка и эпюры напряжений и

Единицы измерения:

Исходные данные:

- удельный вес жидкости;

Размеры резервуара:

Допускаемое напряжение:

Решение. Рассмотрим три участка, нумерация которых и координатная ось Oz указаны на рис.16.5, а.

1. Определим сначала силовые и геометрические характеристики оболочки по участкам:

Первый участок (рис.16.5, a)

давление жидкости на боковые стенки резервуара:

где координата здесь отсчитывается от начала координатой оси , т. е. от до свободной поверхности жидкости .

Для круговой конической оболочки радиусы кривизны дуги:

Второй участок (рис.16.5, a)

Давление жидкости:

Для круговой цилиндрической оболочки радиусы кривизны дуги:

Третий участок (рис.16.5, а)

Давление жидкости на боковые стенки резервуара:

Для круговой цилиндрической оболочки радиусы кривизны дуги:

2. На всех участках , поэтому окружные напряжения в оболочке по участкам определяем сразу из уравнения Лапласа:

Первый участок (рис.16.5, a)

Зависимость от z на 1-м участке нелинейная, поэтому необходимо исследовать функцию на экстремум:

Экстремум находится в конце участка при

Второй участок (рис.16.5, a)

Третий участок (рис.16.5, а)

Составляем программный модуль , приняв (рис.16.6):

3. Определяем меридиональные напряжения по участкам оболочки:

Определяем меридиональные напряжения по участкам оболочки:

Первый участок

Для определения меридионального напряжения коническую поверхность рассекаем коническим нормальным сечением на расстоянии z от вершины конуса (рис.16.5, b). Составляем уравнение равновесия и решаем:

Переписываем результат решения уравнения равновесия c оператором присвоения:

Как видно, зависимость от z на 1-м участке нелинейная, поэтому необходимо исследовать функцию на экстремум:

Как видно в пределах участка напряжение экстремума не имеет.

Второй участок

Меридиональное напряжение определяем из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис.16.5, с). Вертикальная составляющая сил давления складывается из веса жидкости в отсеченной части и силы давления выше расположенных слоев жидкости:

Третий участок

Для определения меридионального напряжения рассматриваем равновесие отсеченной части резервуара (рис.16.5, d). Вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости, помещенной в сосуде:

Составляем программный модуль , приняв (рис.16.6):

Рис.16.6. Эпюры окружных и меридиональных напряжений при

Наибольшие напряжения возникают в точках первого участка при .Так как напряжения и одного знака, то для точек срединной поверхности получим:

-копируем сначала для первого участка из программного модуля

-теперь копируем правую часть для первого участка из программного модуля и упрощаем:

Главные напряжения:

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности (максимальных касательных напряжений)

Толщину стенки h оболочки определяем из условия прочности

Принимаем

Определяем и в конце первого участка при найденном значении толщины (указаны они на эпюре рис.16.5, а):

Пример 16.3. Круговая цилиндрическая оболочка радиуса R с полусферическим днищем того же радиуса заполнена жидкостью плотности и надута давлением (рис.16.7, а). Найти толщину стенки t по четвертой теории прочности. Единицы измерения:

		Напряженное состояние в точке А

Рис.16.7. Резервуар с жидкостью под газовым давлением и эпюры

меридиональных и окружных напряжений

Исходные данные:

Решение. Нумерация участков оболочки и координатная ось указаны на рис.16.7, а. Давление р(z) в точке жидкости с координатой z определяется сложением постоянного газового давления р 0 и давления столба жидкости, находящегося над рассматриваемым уровнем:

1. Рассматриваем сферическое днище. Отсекаем коническим нормальным сечением часть сферической оболочки высотой z (рис.16.8, a) и составляем уравнение равновесия, проектируя все силы на ось z:

Объем сферической части (шарового сегмента):

где - высота шарового сегмента; R - радиус шара.

Решив уравнение равновесия

получаем:

Как видно, зависимость от a на 1-м участке нелинейная, поэтому необходимо исследовать функцию на экстремум:

Как видно, экстремум напряжения находится в начале участка при .

Рис.16.8. Отсеченные части резервуара

Из уравнения Лапласа находим окружное напряжение :

Зависимость от a на 1-м участке нелинейная, поэтому исследуем функцию на экстремум:

Следовательно, напряжение экстремума не имеет.

Для построения эпюры и в сферическом днище оболочки в полярной системе координат составляем программные модули:

Программный модуль для

Программный модуль для

Эпюры меридионального и окружного напряжений в поляр ной системе координат представлены на рис.16.9.

a. b.

Рис.16.9. Эпюры меридионального и окружного напряжений в сферическом днище оболочки в полярной системе координат

По умолчанию полярные графики строятся от горизонтального радиуса, при этом угол a отсчитывается против хода часовой стрелки. У нас криволинейный участок оболочки начинается с , поэтому координата текущего сечения составляет .

2. Рассматриваем цилиндрическую часть резервуара ниже опорного кольца (рис.16.8, b).

На участке , поэтому окружные напряжения в оболочке определяем сразу из уравнения Лапласа:

Меридиональное напряжение определяем из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис.16.8, с). Вертикальная составляющая сил давления складывается из веса жидкости в отсеченной части и силы давления выше расположенных слоев жидкости:

Для построения эпюры и в стенке цилиндрической части резервуара ниже опорного кольца (рис.16.11) составляем программные модули:

3. Рассматриваем цилиндрическую часть резервуара с жидкостью выше опорного кольца (рис.16.8, c).

На участке , поэтому окружные напряжения в оболочке определяем сразу из уравнения Лапласа:

Рис.16.10. Эпюры меридионального и окружного напряжений в стенке цилиндрической части резервуара ниже опорного кольца

При составлении уравнения для определения удобнее рассмотреть

равновесие верхней отсеченной части оболочки.

Используя принцип отвердения для жидкости и газа (см. рис.16.8), получим

Решаем

следовательно,

Составляем программные модули для и (рис.16.11):

Рис.16.11. Эпюры меридионального и окружного напряжений

в стенке цилиндрической части резервуара выше опорного кольца

4. Рассматриваем цилиндр под газовым давлением (рис.16.12) . При рассмотрении четвертого участка наиболее просто найти напряжения из условия равновесия для верхней части оболочки (см. рис.16.12).

Рис.16.12. Верхняя отсеченная цилиндрическая часть оболочки (сечение выше уровня жидкости)

Здесь

поэтому

Из уравнения Лапласа находим окружные напряжения

Составляем программные модули для и (рис.16.13):

Рис.16.13. Эпюры меридионального и окружного напряжений

в цилиндрической части резервуара под газовым давлением

5. Сфера под газовым давлением (рисунок не делаем).

Здесь

, , , ,

поэтому из уравнения Лапласа получим

Программный модуль для (рис.16.14):

Рис.16.14. Эпюры меридиональных и окружных напряжений

6. Составляем программные модули суммарных меридиональных и окружных напряжений по высоте цилиндрической части оболочки на основе формул, полученных выше для отдельных участков (рис.16.15):

Программный модуль суммарных и напряжений

Рис.16.15. Эпюры меридиональных и окружных напряжений по всей высоте цилиндрической части резервуара

На рис.16.7, b представлены эпюры и на всех участках резервуара. Обратим внимание на разрыв окружных напряжений в месте сопряжения цилиндра со сферой. В этой зоне использованная теория не справедлива. Необходимо применять более сложные уравнения, которые в сопротивлении материалов не рассматриваются. Обычно в подобных сечениях используется такое конструктивное решение, как установка упругого кольца (шпангоута). Из рис.16.