Элементы геометрии потока

2. Наиболее характерными чертами геометрии потока являются

3. В буквальном переводе на русский язык термин дивергенция означает «расхождение». Но по смыслу это слово надо переводить как изменение чего-либо на единицу рассматриваемого целого и отнесенное к единице времени.

Согласно такому пониманию дивергенции математически это понятие записывается следующим образом:

или в пределе

(3.76)

где: – обозначение дивергенции; - изменяющаяся величина; - убыль или прибыль изменяющейся величины за данный интервал времени . Размерность дивергенции:

Другими словами, дивергенция есть не что иное, как темп изменения всякой величины , являющейся функцией времени. Из выражения (3.1) видно: темп есть не что иное, как логарифмическая производная от этой величины по времени: .

Обратная ей функция: для .

Если (то есть постоянная), то функция принимает более простой вид: . Иначе говоря, величина, темп которой есть величина постоянная, представляет собой экспоненциальную функцию времени. В частном случае, когда принимает дискретные (целые) значения (1, 2, 3,....n) величина есть не что иное, как геометрическая прогрессия, со знаменателем .

Приведенное здесь определение понятия дивергенции хотя и не ново, но в современных руководствах по физике и теории поля оно не используется. Ранее подобное определение также использовалось лишь в нескольких руководствах[18].

Тем не менее, это определение нам представляется более удобным по ряду соображений. В дальнейшем в основу нашего подхода к моделированию процессов системной динамики положен принцип уподобления всех процессов потоку жидкости и последующего использования гидродинамических характеристик этого потока в качестве параметров модели[19].

В этой связи рассмотрим важнейшее уравнение гидромеханики – уравнение непрерывности.

или

(3.77)

где - плотность жидкости, которая в общем случае является переменной величиной; - скорость течения жидкости.

Тогда дивергенция поля скоростей потока жидкости:

(3.78)

Таким образом, расходимость (дивергенция) поля скоростей дает относительное изменение плотности элемента жидкости, находящегося в данном месте, - изменение, отнесенное к единице времени [20].

Покажем сущность рассматриваемых понятий на примере шара переменного объема (Рис.3.16)

Рис.3.16. Шар переменного объема

Для этого случая:

или

Получаем два равносильных уравнения:

Отсюда следуют два равносильных определения понятия дивергенции:

Ø Объемный коэффициент расширения, отнесенный к единице времени;

Ø Скорость изменения объема, отнесенная к единице объема

Аналогично определяется дивергенция площади, длины, массы и проч.

Повторим: для любых процессов (изменений) дивергенция то же, что и скорость для механических перемещений.

Рассмотрим детальнее величину средней продолжительности существования для примера с шаром.

(3.79)

-среднее время существования

Если принять для шара ; , то сек. Иными словами, шар ежесекундно уменьшается на 0,1 от первоначального объема.

В этом случае вероятная есть время, в течение которого шар уменьшается до половины своего первоначального объема, если в каждую оставшуюся секунду он уменьшается пропорционально оставшемуся объему. В принятых допущениях до половины первоначально объема он уменьшится через 6,93 секунды.

4. Рассматривая проблемы теории потока, П.А. Корольков показал, что все разнообразие реальных потоков (например, потоков вещества) есть то или иное сочетание двух его основных видов: потока поступательного (потенциального) состоящего из стоков и источников присущими ему стоками и источниками, и потока вращательного (вихревого) с присущими ему вихрями правыми и левыми. Поток чисто поступательный (без вихрей), либо чисто вращательный (без источников и стоков) – это абстракции, которые в реальности не встречаются.

Стоки, источники, вихри не существуют вечно, а непрестанно возникают, изменяются в период своего существования и заканчивают существование тем или иным образом.

В любом реальном потоке всегда имеет место непрерывное равенство между стоками и источниками в том смысле, что в любой области пространства из всех источников столько же вытекает, сколько поглощается всеми стоками, если иметь ввиду стоки и источники не только внутри области, но и на внутренней стороне ее граничной поверхности. Такое же равенство существует между вихрями правыми и левыми. Это означает, что никакой источник не возникает и не увеличивается, если одновременно не исчезает или не уменьшается один или несколько стоков. Таково же возникновение, увеличение, уменьшение и исчезновение правых и левых вихрей.

Каждая форма потока, включая и рассмотренные потенциальные и вихревые, может быть как периодической (волновой) так и апериодической.

5. Поскольку любой поток по своей структуре слоисто-струйчатый, всегда имеется возможность отобразить его геометрическими линиями тока для струй и изоповерхностями для слоев.

6. Поступательный поток, находящийся в стационарном состоянии (вернее – в некоторый малый интервал времени, когда его можно считать стационарным) геометрически изображается системой не пересекающихся друг с другом неизменных изоповерхностей и системой неизменных линий тока по нормали к этим поверхностям.

Если поток изменяется, то, соответственно изменяются изоповерхности и линии тока.

7. Любое мгновенное сечение (не обязательно плоское) изменяющегося поступательного потока представляет собой изоповерхность.

Векторы, построенные по нормали к изолиниям в зависимости от их направленности относительно изолинии показывают наличие источников или стоков: в случае, если векторы направлены во вне контура изолинии – имеем наличие источника; если векторы направлены внутрь контура – в наличии имеется сток.

8. Исходя из основных положений теории потока, П.А.Корольковым была выдвинута идея о том, что понятие дивергенции может быть распространено и на вихри, поскольку правые и левые вихри можно рассматривать как источники и стоки, но имеющие мнимую дивергенцию.[21]

Для этого П.А.Корольковым была выдвинута гипотеза об умножении какой-либо действительной величины на мнимую единицу как переходе к новому математическому действию – повороту вектора на к его первоначальному направлению. В результате:

Ø умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

Ø умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

Ø умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению;

Ø умножение вектора на - означает его поворот на к первоначальному направлению, то есть возврат к исходному состоянию.

К чему это приводит – покажем на рисунке 1.17.

Как видно из рисунка 1.17. последовательное умножение вектора на возрастающие степени мнимой единицы и соответствующие повороты вектора приводит к последовательному преобразованию источника в левый вихрь, сток, правый вихрь, и наконец, снова в источник.