Частотное представление сигналов

Как уже было сказано выше, частотное представление осуществляется в координатах «амплитуда – частота». Графическое изображение этой характеристики называется спектральной диаграммой.

На рисунке 1.5 представлена спектральная диаграмма гармонического сигнала синусоидальной формы с частотой 4 кГц и амплитудой 6 В.

Рисунок 1.5 – Пример спектра гармонического сигнала

Для построения спектральной диаграммы гармонического сигнала достаточно знать амплитудное значение сигнала и его частоту.

Для построения спектральной диаграммы сложных сигналов недостаточно знать частоту повторения сигнала и его амплитуду, спектр таких сигналов имеет достаточно сложный характер.

Для построения спектров сложных сигналов в связи принято представлять их в виде суммы гармонических колебаний различных частот и фаз. Наиболее распространенным представлением является представление в виде рядов Фурье.

Всякий периодически повторяющийся процесс может быть представлен состоящим из гармонических колебаний определенных частот. Бесконечная последовательность импульсов является периодической функцией времени F(t) и ее разложение:

, (1.4)

где A₀ – постоянная составляющая сигнала;

A_k – амплитуда k-й гармоники;

W = 2p/Т – угловая частота;

φ_k – начальная фаза k-й гармоники;

k = 1, 2, 3, ….

Это значит, что последовательность импульсов представляет собой сумму некоторого значения постоянного тока А_о и бесконечного числа синусоидальных колебаний с амплитудой A_k, частотами kW и начальными фазами φ_k.

Частота основной гармоники при таком представлении (k = 1) равна частоте повторения сигнала:

, (1.5)

а частоты остальных колебаний кратны частоте f₁.

Совокупность гармонических составляющих, на которые разложен сигнал, называется спектром.

Если спектр состоит из отдельных линий, то его называют прерывистым, дискретным или линейчатым.

Естественно, что свойства спектра сигнала зависят от его собственных параметров: длительности, скважности, длительности фронтов и т.д.

Для получения спектра сложного сигнала необходимо вычислить коэффициенты Фурье по соответствующим формулам интегрального вида, что представляет довольно трудоемкую операцию.

К примеру, для передачи информации часто используют сигнал прямоугольной формы. Для последовательности прямоугольных импульсов ряд Фурье имеет вид:

(1.6)

где ; ; ; ;

Пусть передается последовательность прямоугольных импульсов со скважностью Q = 120 / 20 = 6 (рисунок 1.6, а). Подставив данные в формулу (1.6), получим значения амплитуд гармоник, входящих в первый лепесток спектра (рисунок 1.6, б).

а – последовательность импульсов со скважностью 6;

б – амплитуды гармоник последовательности импульсов (спектр сигнала);

в – форма последовательности импульсов при полосе частот 50 Гц

Рисунок 1.6 – Представления сигнала прямоугольной формы

Из расчета следует, что при амплитуде импульса 1 В постоянная составляющая равна 0,16 В. Частота 1-й гармоники всегда равна частоте следования импульсов f₁ = 1/(120×10^-3) = 8,33 Гц. Амплитуда 6-й гармоники (f₆ = 6×f₁ = 50 Гц) равна нулю (аргумент синуса равен p). Далее амплитуды гармоник начнут возрастать, но амплитуда гармоники частотой f₁₂ =100 Гц снова обратится в нуль. Частоты гармоник, амплитуды которых обращаются в нуль, кратны величине, обратной длительности импульса. Амплитуда гармоник с увеличением их номера будет убывать, стремясь к нулю при бесконечно большой частоте. Это значит. Что для точного воспроизведения формы импульсов необходима бесконечно большая полоса частот. Импульс с бесконечной шириной спектра невозможно передать по реальной линии связи. Поэтому полосу частот приходится ограничивать. Так, если для передачи указанной последовательности импульсов выделяется полоса частот от нуля до f₆ = 50 Гц, то это означает, что передача осуществляется пятью гармониками (от f₁ = 8,33 до f₅ = 41,67Гц), заключенными в первом лепестке.

Спектры импульсных сигналов, как правило, линейчатые. Более детальный анализ спектров импульсных сигналов показывает, что основная энергия сигнала сосредоточена в полосе частот:

Df = h / t, (1.7)

где μ = (1,5 – 2) - коэффициент воспроизведения формы импульса.

До появления персональных компьютеров, для спектров наиболее распространенных сигналов были расчетным путем получены универсальные справочные выражения, позволяющие достаточно быстро получить значения составляющих спектра сигнала.

В настоящее время спектры сложных сигналов получают программными средствами с помощью компьютеров. Одной из эффективных программ моделирования, позволяющей получать спектры сигналов, является программа Electronics Workbench и ее последующие версии.