Об одном методе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Пусть даны соотношений

(79)

Здесь в правой части – известные выражения, содержащие а – искомые функции. Соотношение (79) называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Без строгого обоснования при дополнительных предположениях покажем, что эта система решается путём приведения её к решению одного дифференциального уравнения -го порядка с одной неизвестной функцией, например, Для этого из (79) нужно исключить неизвестные функций . Непосредственно сделать это не удастся, потому что кроме система содержит производные . Поэтому от системы (79) перейдём к другой, которая не будет содержать этих производных. С этой целью продифференцируем по первое соотношение в (79), учитывая при этом, что правая часть первого уравнения является сложной функцией от так как являются функциями от Использовав правило дифференцирования сложных функций многих переменных и продифференцировав первое уравнение системы (79) по , получим

Здесь производные заменим правыми частями системы (79), которым эти производные равны. В результате получим соотношение вида Это соотношение ещё раз продифференцируем по и заменим появившиеся в правой части производные по от функций соответственно на согласно (79). Получим Продолжив процесс, остановимся на соотношении Таким образом, будем иметь соотношений

(80)

Следовательно, от исходной системы (79) перешли к системе (80), которая уже не содержит Поэтому из системы (80) можно, вообще говоря, исключить величины Предположим, что система первых соотношений (80) разрешима относительно величин и из них выразим через и получим следующие выражения:

(81)

Подставим их в последнее уравнение (80), в результате будем иметь Найдем решение этого уравнения:

(82)

где ‑ произвольные постоянные. Для нахождения остальных искомых функций уже нет необходимости решать дифференциальное уравнение. Эти функции мы найдём, подставив в (81) найденные для выражения, а также выражения для производных первого, второго,..., -го порядков, предварительно вычислив эти производные от найденной функции (82):

(83)

Формулы (82), (83) дают общее решение системы (79).

Пример. Возьмём систему дифференциальных уравнений

(84)

От этой системы перейдём к другой, которая не будет содержать С этой целью первое уравнение в (84) продифференцируем по : В правую часть подставим вместо выражения, стоящие в правых частях системы (84), которым равны эти производные: Отсюда получим Это соотношение возьмём вместе с первым соотношением (84), будем иметь

(85)

Итак, от системы (84) перешли к системе (85), причём последняя не содержит поэтому из неё можно исключить С этой целью из первого уравнения (85) выразим

(86)

Это выражение подставим во второе уравнение (85): Получили дифференциальное уравнение для нахождения Это есть линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его решением будет функция Чтобы найти , найдём производную от эту производную и саму функцию подставим в правую часть формулы (86) и будем иметь