Для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

Согласно предыдущей теореме для нахождения общего решения уравнения (48) достаточно знать какое-либо частное решение этого уравнения. Рассмотрим один из методов построения этого частного решения.

Будем считать, что общее решение соответствующего однородного уравнения найдено и определяется формулой (50), т. е. нам известны частные решения и однородного уравнения (49), образующие фундаментальную систему в некотором интервале. Частное решение неоднородного уравнения (48) также будем искать в виде суммы (50), только теперь, в отличие от предыдущего, будем считать, что являются не постоянными, а искомыми функциями от Таким образом, будем искать в виде

(58)

где ‑ новые искомые функции. Одну из них можно выбрать произвольно или наложить на нее дополнительное требование по нашему усмотрению. Вторую функцию нужно выбрать так, чтобы функция (58) была решением неоднородного уравнения (48).

Возьмём производную от функции (58) и учтём, что в правой части стоят произведения: Потребуем, чтобы удовлетворяли соотношению

(59)

Тогда предыдущее выражение примет вид

(60)

Возьмём ещё раз производную по :

(61)

Теперь потребуем, чтобы функция определяемая формулой (58), была решением неоднородного уравнения (48). Подставим в (48) вместо выражения (58), (60), (61) соответственно:

Поскольку в левой части суммы в скобках обращаются в нуль, так как и – решения однородного уравнения (49), то Запишем это соотношение вместе с условием (60) и получим

(62)

Здесь, как уже отмечалось, – известные функции. Соотношение (62) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения двух неизвестных Определитель этой системы есть определитель Вронского (51), и он отличен от нуля. Значит, система (62) имеет единственное решение. Решив её, найдём С помощью интегрирования получим

где ‑ произвольные постоянные. Так как ищем частное решение , то постоянные можно выбрать произвольно. Впредь всегда будем считать их равными нулю. Подставив найденные выражения и в формулу (58), найдём искомое частное решение неоднородного уравнения (48).

Пример. Дано неоднородное уравнение

(63)

Ему отвечает однородное уравнение

(64)

Последнему уравнению соответствует характеристическое уравнение Его корни равны Соответственно, общее решение уравнения (64) имеет вид

(65)

Итак, частные решения однородного уравнения (64), образующие фундаментальную систему в интервале , будут следующими: Частное решение неоднородного уравнения (63) ищем в виде (58), т. е. в виде

(66)

Поступив, как и выше, для нахождения и получим систему (62), которая в условиях примера запишется так:

(67)

Первое уравнение умножим на второе – на и сложим их почленно. В итоге имеем Тогда из первого уравнения (67) найдём и, проинтегрировав, получим Найденные функции подставим в формулу (63) и будем иметь Общее решение уравнения (63) определится как сумма по формуле (52).

При нахождении частного решения уравнения (48) часто бывает полезной следующая

Теорема. Дано уравнение

(68)

Пусть есть решение уравнения а – решение уравнения Тогда сумма есть решение уравнения (68).

Теорема доказывается прямой подстановкой в (68).