Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Возьмём соотношение

(9)

где – искомая функция от – заданные непрерывные функции аргументов соответственно Кроме того, – дифференциал аргумента – дифференциал искомой функции. По определению дифференциал искомой функции

(10)

Выражение для дифференциала подставим в (9) и полученное соотношение поделим на Будем иметь

(11)

Но соотношение (11) есть дифференциальное уравнение первого порядка, поэтому равносильное ему соотношение (9) также является дифференциальным уравнением первого порядка. Его называют уравнением с разделёнными переменными. Чтобы его решить, перейдем с помощью формулы (10) к соотношению (11), в котором левая часть есть функция от так как есть искомая функция от Учитывая это, от обеих частей соотношения (11) возьмём неопределённый интеграл по принимая во внимание, что интеграл от левой части будет равен сумме интегралов слагаемых, поэтому

(12)

Во втором интеграле левой части учтём соотношение (10), интеграл справа равен произвольной постоянной, следовательно,

Взяв первый интеграл по получим некоторую функцию взяв второй интеграл по получим функцию Теперь исходное соотношение примет вид Это и есть общий интеграл уравнения (9). Таким образом, чтобы получить общий интеграл в уравнении с разделёнными переменными (9), нужно функцию проинтегрировать по функцию – по и полученную сумму приравнять

Пример. Решить уравнение

Это уравнение с разделёнными переменными, так как оно имеет вид (9). Его общий интеграл т. е. Обозначив получим Это есть общий интеграл рассматриваемого уравнения. Такой же общий интеграл имеет уравнение Легко видеть, что оно совпадает с исходным уравнением.

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида

(13)

где – заданные непрерывные функции от – заданные непрерывные функции от и – искомая функция.

Предположив, что соотношение (13) почленно умножим на получим уравнение с разделенными переменными

Это уравнение решается, как указано выше, и его общий интеграл имеет вид

Пусть, например, имеется уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид (13). Умножим обе его части на , считая и получим Общий интеграл уравнения имеет вид Получаем в итоге общий интеграл Заметим, что также является частным решением уравнения.