Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка

Дано уравнение первого порядка

(7)

где – заданная функция от аргументов Для простоты будем считать, что эта функция определена на всей плоскости

Возьмем на плоскости произвольную точку с известными координатами и вычислим в ней значение заданной функции По этому числу найдем угол для которого Иначе говоря, зная , вычислим угол в точке и в этой точке проведём направление, образующее с осью угол (рис. 168). Это построение можем выполнить с помощью уравнения (7) в любой точке плоскости Таким образом, по дифференциальному уравнению (7) на плоскости для каждой её точки определим некоторое направление. В таком случае говорят, что дифференциальному уравнению на плоскости отвечает поле направлений.

Пусть есть решение уравнения (7), график которого (интегральная кривая уравнения) проходит через точку Мы знаем, что значение производной вычисленное для значения (абсциссы точки ), равно – тангенсу угла образованного с осью касательной к кривой в её точке с абсциссой Но функция есть решение уравнения (7), т. е. она вместе со своей производной удовлетворяет уравнению (7). Таким образом, и поэтому направление касательной к кривой в её точке совпадает с направлением поля в этой точке, определенным по дифференциальному уравнению (7).

Итак, в любой точке интегральной кривой направление касательной к ней совпадает с направлением поля в этой точке. Это свойство используется для приближенного решения уравнения (7).