Физическая и Математическая модели метода и устройства, испльзующих нагреватель в виде плоской полосы

Расчетные зависимости разработанных методов получены из решений краевых задач теплопроводности, которые проводились на идеологической основе метода интегральных характеристик (ИХ), показанных в разделе 7.1 (зависимости (7.1) …(7.8.). Большая, многолетняя и весьма плодотворная работа коллектива научных работников кафедры АСП ТГТУ доказала эффективность применения ИХ в экспериментальной практике. Основная идея применения метода ИХ для создания методов заключена в возможности простого и аналитически точного решения обратной многомерной задачи теплопроводности. В работе мы будем использовать два вида ИХ.

В дальнейшем исследовании, мы будем применять параметр р действительным и положительным. Именно правильный выбор вполне определенного действительного и положительного значения этого параметра позволяет удобно и просто вычислять по результатам эксперимента оптимальные значения ВИХ, где функция U(x,t)- или температура тела или величина плотности теплового потока q(r,t), идущего через нагреваемый участок поверхности исследуемого образца.

Рассмотрим основу разработки методов на примере относительного метода (неразрушающего контроля теплофизических свойств) НК ТФC материалов массивных образцов.

Дана система двух полуограниченных тел (рис. 7.6), соприкасающихся в плоскости x0y. Значения теплопроводности l₁ и температуропроводности а ₁ верхнего тела известны и постоянны. В начальный момент времени t = 0 система тел находится при постоянной температуре (считаем ее равной нулю).

Рис. 7.6 Физическая модель тепловой системы двух полупрозрачных тел

В плоскости контакта z = 0 при x = 0 действует непрерывный источник тепла в виде бесконечной полосы -¥ < y < ¥, выделяющий на единицу своей поверхности количество тепла q(x,t). В процессе эксперимента может быть измерена температура в плоскости контакта тел. Ставится задача определения постоянных коэффициентов теплопроводности l₂ и температуропроводности а ₂ нижнего тела.

Следует заметить, что в данной системе тел температура U не зависит от координаты y, так как ни начальные, ни граничные условия не зависят от y, т. е.

В силу симметричности системы и краевых условий относительно плоскости z0y имеем

.

Процесс распространения тепла в данной системе тел может быть описан решением следующей задачи:

(7.34)

(7.35)

U₁(x,z,t) и U₂(x,z,t) ® 0 при x² + z² ® ¥; (7.36)

(7.37)

(7.38)

Для решения задачи восстановления значений коэффициентов тепло- и температуропроводности нижнего тела будем использовать метод интегральных характеристик. Решение будем проводить следующим образом.

Применяя последовательно к задаче (7.34-7.38) интегральное преобразование Лапласа (7.3) и интегральное косинус-преобразование Фурье (7.5) получим

(7.39)

(7.40)

; (7.41)

(7.42)

(7.43)

Общее решение уравнений (7.39), (7.40) имеет вид [28]

.

Из (7.41) находим А₂ = В₂ = 0.

Из (7.42), (7.43) определяем А₁ и В₁:

.

Таким образом, решение задачи в области временных и пространственных преобразований (7.39)-(7.43) имеет следующий вид:

, (7.44)

. (7.45)

Рассмотрим решение обратной задачи теплопроводности для данной системы тел с помощью интегральных характеристик. Предположим, что в эксперименте выполняются следующие условия.

1 Количество тепла, выделяемого на единицу поверхности источником тепла внутри полосы -l £ x £ l, -¥ < y < ¥, z = 0 не зависит от координаты x и равно q(t).

2 В плоскости x0y теплообмен между телами пренебрежимо мал, и тепловые потоки плотностью q₁(t) и q₂(t), направленные в каждое из тел от источника тепла, не зависят от координаты x, причем выполняется равенство

q₁(t)+q₂(t)=q(t) (7.46)

3 На оси y (х = 0; z = 0)температура первого тела равна температуре второго тела, т.е.

U₁(0,0,t)=U₂(0,0,t) (7.47)

Интегральные характеристики температуры в плоскости x0y для каждого из тел определяются выражениями

, (7.48)

(7.49)

Из условия (7.46), (747) следует

U^*₁(0,0,p)=U^*₂(0,0,p)ºU^*(p), (7.50)

q^*₁(p)+q^*₂(p)=q^*(p) (7.51)

Пусть для двух конкретных значений p₁ и p₂ параметра p известны значения интегральных характеристик U^*(p) температуры и интегральной характеристики q^*(p) мощности теплового потока, выделяемого нагревателем, тогда из (7.48)-(7.51) получаем зависимость для определения величины температуропроводности а ₂:

(7.52)

где (7.53)

Значение теплопроводности l₂ может быть найдено, используя известное уже значение а ₂, по следующей формуле

. (7.54)

С помощью следующих замен переменных:

m=sl, ,

зависимости (7.52) - (7.54) можно привести к виду, более удобному для применения. Тогда по экспериментальным данным рассчитываются значения q^*(p₁), q^*(p₂), U^*(p₁), U^*(p₂) и определяется комплекс g из уравнения

, (7.55)

а затем находим искомые величины тепло- и температуропроводности

(7.56)

,

где V(x) и F(n,x) представляют собой функции переменных x и n, рассчитанные по следующим выражениям

(7.57)

и представленные в виде таблиц, графиков или аппроксимирующего полинома, реализуемого в ЭВМ АСНИ достаточно простыми аналитическими выражениями. Постоянные К₁ и К₂ определяются известными теплофизическими свойствами верхнего образцового тела и рассчитываются с помощью функции V(x):

Зависимости (7.55), (7.56) для определения тепло- и температуропроводности имеют следующие недостатки, затрудняющие их применение непосредственно. Во-первых, температуропроводность является неявной функцией от экспериментально определяемых величин, во-вторых, в зависимости входят несобственные интегралы, расчет которых без привлечения вычислительной техники весьма затруднителен. Поэтому интегральные зависимости, а именно V(g) и F(n,g) можно аппроксимировать полиномами. В результате расчетные формулы получили явное выражение для искомых величин и появилась возможность использования для автоматизации эксперимента микропроцессоров и мини – ЭВМ, что удобно как в лабораторных, так и производственных цеховых условиях.

Согласно проведенным исследованиям, диапазон возможных значений параметра g, с учетом разбиения интервала возможных значений коэффициента температуропроводности на три промежутка, примем равным: 0,5¸1,5. При этом значение параметров n=p₂/p₁ равно 8, что следует из условия оптимального режима проведения эксперимента, обеспечивающего минимальную погрешность определения величин ТФС. При помощи метода наименьших квадратов были получены следующие полиномы:

g=-88,38682+124:313F - 58,9F²+9,4544F³,

V(g)=2,0776 - 1,4096g + 0,75329g² - 0,15203g³.

Максимальная относительная погрешность аппроксимации для параметра g не превышает 0,1%, а для V(g) - 0,15%.

Как видно из (7.55 – 7.57) для определения тепло- и температуропроводности исследуемого тела (λ₂ и a₂) необходимо знать значения интегральных характеристик температуры в одной точке поверхности U^*(0,0,p_i)(i=1,2) и значения интегральной характеристики плотности теплового потока или тепловой мощности q^*(p_i)(i=1,2), выделяемого плоским полосовым нагревателем. Таким образом, нет необходимости измерять плотность теплового потока q₂(t), направленного в исследуемое тело, что существенно упрощает расчетные формулы, конструкцию зонда, измерительную схему прибора и следовательно, повышает надежность работы всего прибора в целом. Нам нужно знать следующие экспериментальные данные q^*(p₁), q^*(p₂), U₁^*(0,0,p₁) и U^*(0,0,p₂).

Из (7.55) и (7.57) видим, что по данным эксперимента необходимо находить интегральные характеристики температуры и теплового потока вида:

,

где V(t) - температура U(t), или теплового потока q(t) замеряемые в ходе эксперимента.

Если функция V(t)=V постоянна в течение эксперимента, то: .

Исследования показали, что определения интегральных характеристик функции U(t) по данным эксперимента наиболее целесообразно проводить при помощи квадратурных формул для вычисления интегралов на полуоси (0,∞) с весовой функцией Чебышева - Лаггера [29]:

, (7.58)

где A_K и τ_K коэффициенты и абсциссы узлов квадратурной формулы, α - константа.

Перейдем к вычислению интегральных характеристик (7.3) и (7.3а) по формуле (7.58). Видим, что при α=0 и τ=pt можем получить следующую зависимость:

.

Таким образом, замеряя температуру или тепловой поток в отдельные моменты времени , находим их интегральные характеристики по формуле:

.

Так как тепловая мощность, выделяемая на нагревателе, остается постоянной во времени, то интегральная характеристика теплового потока будет равна:

,

где q - удельная тепловая мощность выделяемая на нагревателе.

В результате расчетов на ЭВМ при p₁=0,016 и p₂=0,128 были выбраны для определения интегральных характеристик (7.3) число узлов n=4, n=5,обеспечивающие высокую точность вычисления. Для n=4 или n=5 погрешность интегрирования (7.58) не превышала 0,16%.

Значения параметров p₁ и p₂ определяются из условий:

1) Минимальное значение параметра p (например, p₁) определяется длительностью эксперимента ; в свою очередь длительность эксперимента определяется условием адекватности замены образца с конечными размерами полуограниченным телом.

2) Максимальное значение параметра p(p₂) должно быть таким, чтобы первый замер температуры проводился в момент времени, когда температура поверхности возросла настолько, что ее величина, по крайней мере, превосходит величину абсолютной погрешности измерения температуры.

3) Очевидно, что чем больше отличаются друг от друга значения p₁ и p₂, тем больше будет значение F(γ) и тем чувствительнее будет метод.

Исходя из этих условий, были выбраны следующие значения параметра p:

p₁=0,016 (сек^-1) p₂=0,128 (сек^-1).

Для составления алгоритма обработки экспериментальных данных нами было выбрано число n=5.

Весьма удобным для вычисления значений интегральных характеристик оказалось применение квадратурной формулы [29]

,

где коэффициенты A_n =0,109; 0,249; 0,334; 0,251; 0,056; абсциссы узлов t_n = 0,043; 0,252; 0,742; 1,796; 4,146.

Это привело к необходимости измерения температуры центра нагреваемой полосы поверхности контакта двух тел (рис 7.6) только в следующие десять моментов времени:

для параметра p₁ = 0,016: t_n = 2,72; 15,78; 46,34; 122,23; 259 [c];

для параметра p₂ = 0,128: t_n = 0,34; 1,97; 5,79; 14,03; 32,39 [c]. (7.58)

Таким образом, для определения коэффициентов имеем следующий алгоритм.

При измерении температуры центральной образующей полосы поверхности при помощи термопары, величина этой температуры равна

U(t)=k×e(t),

где k - коэффициент перевода показаний термопары e(t) из mV в °С. Тогда по измеренным значениям термо-э.д.с. определяем значение функции F по формуле

Затем находим значение параметра g:

и, наконец, рассчитываем значение искомых коэффициентов:

(7.59)

(7.60)

c_g=l/ a. (7.61)