К вопросу о возможности непосредственного измерения пространственной интегральной характеристики температуры

В ряде случаев удается получить расчетные соотношения, связывающие искомые теплофизические свойства исследуемого вещества с такими пространственными интегральными характеристиками температуры, которые легко можно измерить непосредственно в ходе эксперимента, например:

1) при экспериментальном определении коэффициента температуропроводности а жидкости методом ламинарного режима [2] легко может быть измерена пространственная интегральная характеристика (7.6), принимающая при вид

(7.6а)

и имеющая физический смысл среднемассовой температуры жидкости в сечении, расположенном на расстоянии от входа в так называемый теплообменный участок измерительной трубки; для измерения этой ПИХ в конце теплообменного участка измерительной трубки устанавливают специальное устройство [2], обеспечивающее перемешивание исследуемой жидкости – в результате ПИХ (7.6а) определяют непосредственно по сигналу термопары или термометра сопротивления, размещенному в таком специальном устройстве;

2) аналогичные устройства [2] позволяют легко измерять среднемассовые значения температуры исследуемой жидкости не только при ламинарном режиме ее течения, но и при турбулентном или переходном режимах течения.

К сожалению, нам не известны другие примеры непосредственного измерения пространственных интегральных характеристик температуры. В большинстве случаев ПИХ температуры приходится определять с использованием вычислений по квадратурным формулам вида (7.8).

7.2.3 Методы вычисления временных
интегральных характеристик

Проблема определения интегральных характеристик температур и тепловых потоков в общем случае сводится к вычислениям по квадратурным формулам типа (7.8), (7.8а) и (7.8b). В случае использования ВИХ на основе преобразования Лапласа эти квадратурные формулы на полуоси [0, ¥) удобно представить в виде [27]:

(7.9)

(7.9а)

где коэффициенты и абсциссы квадратурных формул (7.9), (7.9а); p – параметр преобразования Лапласа; α – показатель степени в формулах (7.9), (7.9а).

Примечание. Если задать α = 0, то формулы (7.9), (7.9 а) полностью совпадают с преобразованием Лапласа.

Численные расчеты показали [27], что при обработке данных теплофизических экспериментов наиболее точные результаты в вычислении ВИХ достигаются при использовании квадратурных формул (7.9), (7.9а). Применение таких формул позволяет получать значения ВИХ с высокой степенью точности при числе узлов n £ 5. Если подынтегральные функции непрерывны и монотонны, то относительные погрешности вычисления интегральных характеристик и по квадратурным формулам (7.9), (7.9а) не превышают 0,5 % при числе узлов n = 4.

7.3 Абсолютный метод измерения
коэффициента температуропроводности
с применением временных интегральных характеристик температуры

7.3.1 Физическая модель устройства для измерения коэффициента температуропроводности
методом временных интегральных
характеристик температуры

Рассмотрим плоский образец (см. рис. 7.1), изготовленный из исследуемого материала. Пусть в трех сечениях х, с координатами этого образца, установлены три датчика температуры ДТ1,ДТ2, ДТ3, например, термопары или термометры сопротивления, позволяющие измерять температуры в этих сечениях.

Рис. 7.1 Схема размещения трех датчиков температуры
в исследуемом образце

В случае использования монолитного образца из исследуемого материала, в нем должны быть просверлены три отверстия, расположенные в плоскостях с координатами , и . Перед экспериментом в эти три отверстия следует ввести термопары для измерения температур и .

В процессе эксперимента исследуемый образец нагревают или охлаждают по какому-либо закону, регистрируют изменение температур и , а затем находят искомое значение коэффициента температуропроводности а путем обработки полученной информации.

Примечание. Возможен вариант, когда исследуемый образец набирают из четырех пластин, обозначенных позициями 1, 2, 3, 4 в нижней части рис. 7.1. В этом случае нет необходимости сверлить отверстия для размещения термопар, так как тонкие проволочные термопары или термометры сопротивления могут быть размещены между поверхностями контакта пластин 1, 2, 3 и 4 в точках с координатами и .

7.3.2 Математическая модель температурного поля
образца из исследуемого материала

Если в процессе эксперимента зарегистрированы температуры и соответственно в точках с координатами и , то математическую модель температурного поля в исследуемом образце в области можно записать в виде:

(7.10)

(7.11)

(7.12)

(7.13)

с дополнительным условием

(7.14)

превращающим прямую краевую задачу (7.10) – (7.13) в инверсную краевую задачу теплопроводности (7.10) – (7.14) относительно неизвестного параметра, представляющего собой искомый коэффициент температуропроводности а.

Применив преобразование Лапласа к рассматриваемой инверсной краевой задаче теплопроводности, получаем

так как в силу (7.11)

С учетом этих обозначений прямая краевая задача теплопроводности (7.10) – (7.13), после применения к ней преобразования Лапласа, принимает вид:

(7.10а)

(7.12а)

(7.13а)

с дополнительным условием

(7.14а)

Общее решение уравнения (7.10а) имеет вид [16]:

(7.15)

Подставив , а затем в общее решение (7.15) на основании (7.12а) и (7.13а), получаем

систему двух уравнений (7.12b), (7.13b). Если пока считать коэффициент температуропроводности а параметром, то из системы уравнений (7.12b), (7.13b) легко получить значения двух коэффициентов А и В, в частности

откуда следует

(7.16)

(7.17)

Потребуем, чтобы найденное решение (7.15) с учетом (7.16) и (7.17) удовлетворяло дополнительному условию (7.14а).

Подставив значения А и В, выраженные в виде (7.17) и (7.16), в общее решение (7.15) и приравняв в полученной записи

(7.14b)

получим одно уравнение

(7.18)

с одним неизвестным – коэффициентом температуропроводности а.

Уравнение (7.18) легко решается численно, например, методом деления отрезка пополам (после предварительного определения отрезка, содержащего только один корень).

Если ввести обозначение , то уравнение (7.18) примет вид

(7.18а)

Если путем вычислений найдем корень уравнения (7.18а), то искомый коэффициент температуропроводности а находится по формуле

Опыт практической работы показал, что погрешность вычисления корня уравнения (7.18а), а значит и погрешность определения коэффициента температуропроводности а, существенно зависит от того, насколько правильно выбрана величина параметра р преобразования Лапласа, входящего в уравнение (7.18а) в качестве параметра. Поэтому одним из существенно важных этапов отработки практической методики измерения коэффициента температуропроводности а является этап выбора оптимального значения параметра р преобразования Лапласа.