Определение усилий и перемещений в длинной цилиндрической оболочке

Расчетный случай 1. Длинная оболочка с круглым поперечным сечением нагружена погонными изгибающими мо­ментами M₀ и погонными поперечны-ми силами Q₀ по торцу при х = 0 (рис. 94).

Рис. 94

Интенсивность радиальной нагрузки равна нулю, и поэтому дифференциальное уравнение (5.32) будет однородным:

Интеграл его не содержит частного решения и имеет вид

(5.38)

Усилия M₀ и Q₀ вызывают местный изгиб, радиальные переме­щения быстро затухают и одно из условий для определения про­извольных постоянных C₁,..., С₄ можно записать так: 1) при х ® ¥ w ® 0. Еще два условия можно записать для нагружен­ного торца: 2) при х = 0 М_x = М₀ 3) при х = 0 Q_x = Q₀. Чет­вертого условия, как увидим, не понадобится.

Действительно, при х ® ¥

поэтому на основании первого условия получим

(5.39)

Чтобы это условие соблюдалось, круглая скобка должна быть равна нулю. Синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут, следовательно, условие (5.39) возможно, только если С₁ = С₂ = 0. Тогда уравнение (5.38) принимает вид

(5.40)

и для определения двух постоянных С₃ и С₄ достаточно двух усло­вий: второго и третьего. Из второго условия найдем [см. фор­мулу (5.26)]

(5.41)

и на основании формулы (5.17)

. (5.42)

Вычислим производные по х от выражения (5.40) для переме­щения w:

(5.43)

(5.44)

(5.45)

Произвольную постоянную C₃ найдем, подставив выражение (5.44) в условие (5.41). Учитывая, что синус нуля равен нулю, коси­нус - единице, а е⁰ = 1, получим

откуда

. (5.46)

Подставив это выражение С₃ в выражение (5.45), найдем из уcловия (5.42)

откуда

. (5.47)

Подстановка значений (5.46) и (5.47) в формулу (5.40) дает урав­нение изогнутой срединной поверхности оболочки

. (5.48)

Подставив выражения (5.46) и (5.47) в формулы (5.43), (5.44) и (5.45), получим

(5.49)

(5.50)

(5.51)

Введем для комбинаций показательной и тригонометрической функций , входящих в уравнения (5.48) - (5.41), следующие обозначения:

. (5.52)

Тогда радиальное перемещение

, (5.53)

а его производные

Имея выражения для перемещения w и его производных, можно, пользуясь соответствующими формулами, получить все усилия и перемещения в оболочке, в частности:

- угол наклона касательной к оси х

(5.54)

- изгибающий момент в меридиональном сечении

(5.55)

- поперечную силу в меридиональном сечении

. (5.56)

Для входящих в эти формулы функций (5.22) составлена табл. 4, дающая численные значения безразмерных величин в зависимости от bх. При bх > 0 все четыре функции по абсолютной величине меньше единицы. По мере возрастания х эти функции затухают, что подтверждает местный характер уси­лий и перемещений. При bх = 0 (а значит, и при х = 0), функ­ции равны единице, а функция равна нулю. Поэтому на торце цилиндрической оболочки:

Таблица 4

bх	j	y	q	z
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0	+ 1,0000 + 0,9907 + 0,9651 + 0,9267 + 0,8784 + 0,8431 + 0,7628 + 0,6997 + 0,6354 + 0,5712 + 0,5083 + 0,2384 + 0,0667 - 0,0166 - 0,04226 - 0,02583 - 0,00455	+ 1,0000 + 0,8100 + 0,6398 + 0,4888 + 0,3564 + 0,2415 + 0,1431 + 0,0599 - 0,0093 - 0,0657 - 0,1108 - 0,2068 - 0,1794 - 0,1149 - 0,05632 + 0,00189 + 0,00837	+ 1,0000 + 0,9003 + 0,8024 + 0,7077 + 0,6174 + 0,5323 + 0,4530 + 0,3708 + 0,3131 + 0,2527 + 0,1988 + 0,0158 - 0,0563 - 0,0658 - 0,04929 - 0,01197 + 0,00191	+ 0,0000 + 0,0903 + 0,1627 + 0,2189 + 0,2610 + 0,2908 + 0,3099 + 0,3199 + 0,3223 + 0,3185 + 0,3096 + 0,2226 + 0,1231 + 0,0491 + 0,00703 - 0,01386 - 0,00646

- радиальное перемещение по формуле (5.53)

, (5.57)

где знак минус показывает, что при принятых за положительные усилия М₀ и Q₀ (см. рис. 94) и оси z, направленной по радиусу к центру кривизны, перемещение w происходит от центра (радиус R увеличивается);

- угол наклона касательной по формуле (5.54)

; (5.58)

- изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_x при х = О по формулам (5.55) и (5.56) получаются равными заданным на кромке величинам М₀ и Q₀.

Расчетный случай 2. Оболочка нагружена радиаль­ными погонными усилиями Р, распределенными по окружности в сечении х = 0 (рис. 95). Начало координат выбираем в сече­нии, в котором приложена радиальная нагрузка. Для каждой половины оболочки слева и справа от начала координат можно применить решение, полученное для расчетного случая 1.

Рис. 95

Граничные условия для определения произвольных постоян­ных следующие: 1) х = 0, (касательная в месте прило­жения силы, вследствие симметрии изгиба оболочки, гори­зонтальна); 2) х = 0, (погонная поперечная сила Q₀ в начале координат равна половине радиальной нагрузки). Поло­жительные направления изгибающего момента и поперечной силы показаны на рис. 94.

Пользуясь первым условием и формулой (5.58), находим

откуда

или, учитывая второе условие,

. (5.59)

Подставив значения Q₀ из второго условия и М₀ из фор­мулы (5.59) в формулу (5.53), получим уравнение радиальных пере­мещений

, (5.60)

так как

.

Продифференцировав выражение (5.60), определим в функ­ции bx угол наклона касательной j, изгибающий момент М_x и поперечную сил Q_x

(5.61)

(5.62)

(5.63)

Так как функции имеют наибольшее значение, равное единице при bх и х равных нулю, а функция z при этом равна нулю, то

Эпюры w, M_x и Q_x показаны на рис. 96.

Рис. 96

Видно, что ординаты эпюр быстро убывают по мере удаления от сече­ния х = 0, в котором приложена радиальная нагрузка. При можно считать, что усилия и деформации пренебрежимо малы. Поэтому при длине оболочки

можно полагать, что усилия и перемещения на одном конце не влияют на эти факторы на другом конце. Такие оболочки отно­сятся к длинным оболочкам.

Чтобы оценить величину l, под­считаем ее при таких данных:

R = 0,5 м; h = 1 см; E = 2×10⁵ Мн/м²; m = 0,3;

Получим , что составляет примерно треть диа­метра цилиндрической оболочки.

Расчетный случай 3. Оболочка нагружена радиаль­ной нагрузкой, распреде-ленной на части длины цилиндра. Для этого случая может быть использовано решение предыдущего расчетного случая, если считать, что нагрузка qdx, действующая на длине dx, (рис. 97) представляет собой погонную радиальную нагрузку Р.

Рис. 97

Перемещения и усилия в какой-либо точке А от нагрузки qdx вычисляются по формулам (5.60) - (5.63) и полученное выражение интегрируется по длине загруженного участка. Например, радиальное перемещение в точке А от элементарной нагрузки dP', располо­женной справа от точки А,

,

а от нагрузки, приложенной на полосе шириной b справа от точки А,

.

Аналогичное выражение можно составить для перемещения от нагрузки, расположенной слева от точки А на полосе шири­ной с. Для перемещения от всей нагрузки, расположенной на полосе шириной l = с + b, получится выра-жение

. (5.64)

Интегрируя таким же образом выражения для j, М_х и Q_x, возникающие от погонных радиальных сил qdx, можно получить соответствующие выражения для этих величин от радиальной нагрузки, расположенной на полосе шириной l.