Оболочка вращения, нагруженная нормальным давлением

На рис. 84 показана оболочка вращения с постоянной толщиной, нагруженная нормальным давлением интенсивностью q. Вырежем из нее двумя меридиональными сечениями 1 и 2 и двумя экваториальными сечениями 3 и 4 малый элемент abcd, имеющий размеры ds₁ и ds₂. Радиусы кривизны R₁ и R₃

Рис. 84

кривых 1 и 3 в ка­кой-либо точке К оболочки совпадают, так как оба радиуса направ­лены по нормали к касательной плоскости I – I в этой точке. Центр кривизны 0₁ меридиональной кривой может лежать как внутри очертания оболочки, так и вне оболочки в зависимости от того, выпуклая она или вогнутая, и в зависимости от величины радиуса кривизны R₁, а центр кривизны 0₂ лежит на оси враще­ния h. Геометрическое место радиусов R₃ представляет собой кони­ческую поверхность с верши­ной, расположенной на оси h.

Составим условия равнове­сия элемента abcd в виде суммы проекций всех сил, действую­щих на элемент, на нормаль п к оболочке, проведенную в цен­тре элемента (рис. 85, а). Так как по четырем граням, кото­рыми выделен элемент, в силу симметрии оболочки и нагрузки относительно оси вращения ка­сательные напряжения отсут­ствуют, эти грани представляют собой главные площадки, а нор­мальные напряжения - глав­ные напряжения: меридиональ­ное s_m и окружное s_T.

а	б

Рис. 85

На рис. 85, б показаны три проекции элемента abсd и напряжения, действующие по его гра­ням. Сумма проекций усилий, приложенных к элементу, на нормаль

Принимая и учитывая, что

,

получаем

или, после сокращения на произведение ds₁ds₂ и переноса давле­ния q и толщины h в правую часть,

. (5.2)

Так как погонные усилия, действующие в экваториальном и меридианном сечениях,

,

можно получить уравнение (5.2), записанное через погонные усилия,

. (5.3)

Уравнение (5.2) или его разновидность (5.3) называется уравнением Лапласа.

При выводе формул Лапласа внутреннее давление q считалось положительным. Наружное давление q следует подставлять в фор­мулы (5.2) и (5.3) со зна­ком минус. Радиусы кри­визны R₁ и R₂ считаются поло­жительными для выпуклого сосуда и отрицательными для вогнутого. При пользовании указанными правилами зна­ков положительное усилие или напряжение соответству­ет растяжению, а отрицатель­ное - сжатию.

Уравнение Лапласа со­держит два неизвестных - меридиональные и окружные напряжения (или усилия). Для их определения необхо­димо дополнительное уравне­ние, которое получается при отсечении от оболочки части ее и составлении условия равновесия для оставшейся части. Рассекающая плос­кость Р - Р обычно выби­рается нормальной к оси вра­щения h, но стенка оболочки пересекается по нормали к мери­диану (рис. 86). Отбрасывать удобно ту часть, на которой нахо­дятся опорные связи, - верхнюю на рис. 86, а и нижнюю на рис. 86, б и в.

а

б в

Рис. 86

Уравнение равновесия оставшейся части подвешенного сосуда, показанной на рис. 86, а сплошной линией, составляем в виде суммы проекции на ось вращения h всех сил, действующих на эту часть:

,

откуда

. (5.4)

В случае опертой оболочки, показанной на рис. 86, б и в, второй член G числителя формулы (5.4) будет отрицательным. В формуле (5.4) приняты обозначения: q_z - гидростатическое или газовое давление на уровне Р - Р (в случае гидростатиче­ского давления q_z = g (Н - z), где g - объемный вес жидкости); G - вес жидкости в оставшейся части сосуда; a - угол между касательной к меридиональному сечению на уровне Р - Р и осью вращения.

Первый член в числителе формулы (5.4) выражает вес цилин­дра, имеющего радиус основания R₂ cos a и высоту (H – z). Поэтому в случае опертой оболочки числитель формулы (5.4) представляет собой разность весов цилиндра с основанием, равным площади сечения Р - Р, и части сосуда, расположенной выше этого сечения. Эта разность пропорциональна разности объемов, показанных на рис. 86, б и в штриховкой. Если разность положительна, усилие N_m растягивающее (объем цилиндра больше объема сосуда - рис. 86, б), если разность отрицательна, усилие N_m сжимающее (объем цилиндра меньше объема сосуда - рис. 86, в).

Рассмотрим применение этих уравнении в частных случаях.

1. Шаровая оболочка с радиусом R, нагруженная радиальной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 87).

Рис. 87

В этом случае в силу шаровой симметрии

(5.5)

и напряжение s в любой точке и по любому нормальному сечению может быть найдено без помощи дополнительного уравнения. Под­становка значений (5.5) в уравнение (5.2) дает

.

Относительная окружная и равная ей относительная меридиональная де­формации по закону Гука

. (5.6)

С другой стороны, относительная окружная деформация

. (5.7)

Приравняв друг другу выражения (5.6) и (5.7), найдем радиальное перемещение

или, заменив s его выражением (5.6), получим:

.

2. Цилиндрическая оболочка с радиусом R, нагруженная нор­мальной к поверхности равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 88).

Рис. 88

В этом случае главные радиусы кривизны

R₁ = ¥ и R₂ = R.

Поэтому на основании формулы (5.2) окружное (экваториаль­ное) напряжение

,

где D - диаметр цилиндра.

Второе главное напряжение - меридиональное напряжение s_m - находится из условия равновесия части оболочки слева от сечения А - А. Равнодейству-ющая Q давления на торец уравно­вешивается усилиями, направленными вдоль образующей, дей­ствующими по кольцу, получающемуся при рассечении цилиндра плоскостью А - А. Тогда

,

откуда

.

При отсутствии торцовых днищ в коротком цилиндре s_m = 0, а в длинном s_m = ms_T.

Относительная окружная деформация e_T для цилиндрической оболочки вычисляется так же, как и для шаровой [см. фор­мулу (5.7)]. Такую же величину имеет и относительная радиальная деформация e_r:

, (5.8)

но по закону Гука

. (5.9)

Приравняв выражения (5.8) и (5.9), найдем радиальное перемещение

или, заменив s_T и s_m их выражениями,

. (5.10)

При отсутствии торцовых днищ в короткой оболочке напря­женное состояние можно считать линейным и перемещения вычи­слять по формуле

. (5.11)

Сравнение формул (5.10) и (5.11) показывает, что при пло­ском напряженном состоянии радиальное перемещение оболочки меньше, чем при линейном; для стальной оболочки коэффициент уменьшения

,

т. е. перемещения при плоском состоянии составляют 85% от перемещений, вычисленных в предположении линейного состояния.

3. Коническая оболочка с углом a при вершине, нагруженная нормальной к поверхности равномерно распределенной нагруз­кой q (рис. 89, а).

а	б

Рис. 89

В этом случае главные радиусы кривизны

и из уравнения (5.3) находим

.

Из уравнения равновесия

,

где Q - равнодействующая проекции на ось h нормальных давле­ний на обо-лочку.

Так как при длине образующей а боковая поверхность обо­лочки

равнодействующая

.

Меридиональное усилие

. (5.12)

Если в это выражение подставить найденное значение Q, то

.

и

.

4. Выражение для меридионального усилия N_m справедливо также в случае сосредоточенной силы Р, приложенной к вершине А конической оболочки по ее оси (рис. 89, б). В формуле (5.12) равно­действующую Q нужно в этом случае заменить на Р. Так как при этом распределенное давление q равно нулю, из уравнения Лап­ласа (5.3) следует, что окружное усилие N_T и окружное напря­жение s_T равны нулю.

Две главные площадки оболочки вращения совпадают с эквато­риальным и меридиональным сечениями. Третья главная площадка нормальна к первым двум и параллельна срединной поверхности. При действии на оболочку внутреннего нормального давления эле­мент 1, выделенный у ее наружной поверхности (рис. 90), нахо­дится в плоском напряженном состоянии, а у внутренней поверх­ности (элемент 2) - в объемном. Третья главная площадка испы­тывает главное напряжение - q, однако меридиональное и эква­ториальное напряжения, имеющие, как видно из уравнения Лап­ласа, порядок , значительно больше (в раз), чем q. По­этому обычно третьим главным напряжением q пренебрегают и счи­тают, что материал оболочки по всей толщине стенки находится в плоском напряженном состоянии.

Рис. 90