 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Механические колебания
|
|
1. Колебательное движение
Колебательное движение это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени. Учение о колебательном движении в физике выделяют особо. Это обусловлено общностью закономерностей колебательного движения различной природы и методов его исследования.
Механические, акустические, электромагнитные колебания и волны рассматриваются с единой точки зрения.
Колебательное движение свойственно всем явлениям природы. Внутри любого живого организма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, например биение сердца.
Условия возникновения колебаний
1) Сообщить телу энергию
2) Наличие положенияустойчивого равновесия и сил, которые стремятся вернуть систему в положение устойчивого равновесия
3) Силы должны быть потенциальными.
Параметры колебательного движения
1. Смещение х - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени (м).
2.Амплитуда хм - наибольшее смещение от положения равновесия (м). Если колебания незатухающие, то амплитуда постоянна.
3. Период Т — время, за которое совершается одно полное колебание. Выражается в секундах (с).
4. Частота n — число полных колебаний за единицу времени. В СИ измеряется в герцах (Гц).
Частота колебаний равна одному герцу, если за 1 секунду совершается 1 полное колебание. 1 Гц= 1 с-1.
5. Циклической (круговой) частотой w периодических колебаний наз. число полных колебаний, которые совершаются за 2p единиц времени (секунд). Единица измерения – с-1.
6. Фаза колебания - j - физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени. Измеряется в радианах (рад).
Фаза колебания в начальный момент времени (t=0) называется начальной фазой (j0).
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
x(t) = Asin(ωt + φ)
или
x(t) = Acos(ωt + φ),
Графики функций f(x) = sin(x) и g(x) = cos(x) на декартовой плоскости.
где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры - постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, (ωt + φ) — полная фаза колебаний, 
— начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
2. Колебание груза на пружине
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению
F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t)
Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
откуда
Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.
Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
3. 
Математический маятник.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела.
Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими. Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Формула Гюйгенса
4. Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. 
или
Из этого соотношения определяем
Период свободных колебаний физического маятника
Если амплитуда колебаний 
мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:
4. Превращение энергии в гармонических колебаний.
На примере колебаний тела на нити видим, что в положении равновесия скорость и, следовательно, кинетическая энергия тела максимальны. Если потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия, то она максимальна при амплитудном значении смещения, т.е. когда кинетическая энергия (скорость) равна нулю.
Т.к. мы рассматриваем свободные колебания (происходящие в отсутствие трения), то выполняется закон сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается неизменной:
Пусть колебание происходит по закону синуса 
, тогда скорость меняется по закону косинуса. 
Запишем выражение для кинетической энергии: 
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия будет равна максимальной кинетической, т.к. в положении равновесия потенциальная равна нулю. Тогда: 
. Для потенциальной энергии получим:
5. Сложение гармонических колебаний.
Сложение по одной прямой.
Метод векторных диаграмм
Фигу́ры Лиссажу́ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Затухающие механические колебания
Затухающими наз. колебания, энергия (а значит, и амплитуда) которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных механических гармонических колебаний связано с убыванием механической энергии за счет действия сил сопротивления и трения.
8 . Характеристики затухающих колебаний
1. Коэффициент затухания 
.
2. Время затухания t - время, за которое «амплитуда» колебаний уменьшается в e раз.
, (1.8.12)
Þ 
, Þ 
, Þ 
.
3. Декремент затухания l – число, равное отношению «амплитуд», соответствующих моментам времени, отличающимся на период.
. (1.8.14)
4. Логарифмический декремент затухания d.
. (1.8.15)
Т.к. коэффициент затухания 
, то «амплитуда» A (t) может быть представлена в виде:
. (1.8.16)
За время затухания t система успевает совершить 
колебаний. Тогда, т.к. 
, то
. (1.8.17)
5. Добротность – безразмерная физическая величина Q, пропорциональная отношению энергии W (t) колебаний системы в некоторый момент времени t к убыли этой энергии за период колебаний, т.е. за интервал времени (t, t + T). Коэффициент пропорциональности равен 2p.
. (1.8.18)
Т.к. энергия колебаний W (t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний: 
, то
, Þ 
. (1.8.19)
При малых значениях логарифмического декремента затухания (
) 
, тогда добротность системы равна
. (1.8.20)
При этом период T затухающих колебаний практически равен периоду T 0 свободных незатухающих колебаний, так что
. (1.8.21)
Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Добротность системы, совершающей незатухающие гармонические колебания, равна бесконечности.
9. Вынужденные колебания.
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (будем называть ее вынуждающей силой).
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
. (1.9.2)
Введем обозначения:
, 
. 
. (1.9.3)
В результате имеем следующее уравнение вынужденных колебаний:
. (1.9.4)
Рассмотрим установившееся движение системы, которое возникает после того, как собственные колебания, возбужденные внешней силой уже затухнут. В установившемся режиме частота колебаний равна частоте вынуждающей силы.
Поэтому будем искать решение уравнения (1.9.4) в установившемся режиме в виде:
. (1.9.5)
Воспользуемся методом векторных диаграмм. Для этого сопоставим каждому члену уравнения (1.9.4) вектор, вращающийся с угловой скоростью w, модуль которого равен амплитудному значению этого члена.
® A 1,
® A 2, (1.9.6)
® A 3,
® f 0.
На рисунке 1.9.3 приведены соответствующие векторы, при этом
.
Рис. 1.9.3.
С помощью теоремы Пифагора получим
, Þ 
, Þ
, (1.9.7)
. (1.9.8)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение x (t) неоднородного дифференциального уравнения (1.9.4) представляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (1.9.5), которое мы нашли, и решения однородного дифференциального уравнения (когда в правой части уравнения (1.9.4) стоит 0, таким уравнением является уравнение (1.8.3)).
В результате получим, что решением уравнения (1.9.4) является функция
, (1.9.9)
где 
, A 0 и j 0 – произвольные постоянные, зависящие от начальных условий, A и q определяются уравнениями (1.9.7) и (1.9.8).
Если начальные условия колебательной системы следующие:
то график функции (1.9.9) имеет вид, показанный на рис. 1.9.4.
Рис. 1.9.4.
Как видно из рисунка 1.9.4 в течение времени t < t происходит затухание свободных колебаний (установление колебаний). Такой режим колебаний называется переходным режимом. При 
- установившийся режим. Время t, в течение которого происходит установление колебаний называется временем релаксации (оно равно времени затухания свободных затухающих колебаний: ).
Резонанс
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к собственной частоте колебаний называется резонансом.
Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы.
Автоколебания.
Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями.
На рис. 1.10.1 изображена схема автоколебательной системы. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и клапан – устройство, осуществляющее обратную связь между колебательной системой и источником энергии.
Рис. 1.10.1.
Обратная связь называется положительной, если источник энергии производит положительную работу, т.е. передает энергию колебательной системе. В этом случае в течение промежутка времени, пока на колебательную систему действует внешняя сила, направление силы и направление скорости колебательной системы совпадают, в результате в системе происходят незатухающие колебания. Если направления силы и скорости противоположны, то имеет место отрицательная обратная связь, которая только усиливает затухание колебаний.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм (рис. 1.10.2). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь – клапаном, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
Рис. 1.10.2.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 975 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
