Геометрическая интерпретация метода простых итераций

Геометрически способ итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости графики функций и . Действительный корень уравнения (2.4) является абсциссой точки пе
ресечения кривой с прямой (Рис.2.5).

Начиная процесс с некоторой точки , строим ломаную линию («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси , вершины лежат на кривой , а вершины - на прямой .Общие абсциссы точек и , и , …, представляют собой соответственно последовательные приближения корня . В рассмотренном случае кривая пологая, и .

Возможен другой вид ломаной («спираль») (Рис.2.6). В этом случае последовательные приближения стремятся к корню то с одной, то с другой стороны. В этом случае , но .

Однако, если рассмотреть случай, где (Рис.2.7), то процесс итераций расходится, т.е. последовательные приближения все дальше удаляются от корня и в какой то момент могут выйти за пределы отрезка .

Поэтому для практического применения метода простых итераций нужно проверить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

На основании этого можно сделать два вывода:

1. Если итерационный процесс сходится для любой начальной точки из отрезка, то он сходится на всем отрезке.

2. Если итерационный процесс расходится хотя бы для одной начальной точки из отрезка, то он расходится на всем отрезке.

Достаточное условие, при котором итерационный процесс (2.5) сходится, определяет следующая теорема.