Правило Борда (процедура Борда)

Согласно этой процедуре подсчитывается, по скольким парамет­рам данное предложение превосходит все другие, результаты сумми­руются. Лучшей считается предложение, набравшее большую сумму. Эта процедура около двадцати лет применялась при выборах акаде­миков во французской академии наук.

Формально процедуру Борда можно записать следующим обра­зом.

Всем x A (А - множество предложений) припишем значения r_i (x) определяемым по правилу:

r_i (x) = {b A: Pi (x) < Pi(b)+ε_i }, где b - предложения, у которых значение i-го параметра P_i(b) лучше значения P_i(x) - i-го параметра предложения x, s_i - характеристика «чувствительности».

Сумма этих значений образует так называемую шкалу альтерна­тив Борда:

r(x) =

i

Поясним правило примером. Пусть требуется выбрать двигатель для некоторого насоса. Характеристики двигателей показаны в таблице 9.1.

Таблица 9.1

Параметры	Название фирм
	А	B	С	D
Мощность двигателя
Расход горючего
Вес двигателя

По правилу Борда для выбора лучшего двигателя надо использо­вать следующий алгоритм:

• для каждого двигателя подсчитать число параметров, по ко­торым он превосходит остальные двигатели, т.е. определить величи­ну r(x);

• сравнить значения r(x) всех двигателей;

• лучшим считается двигатель, набравший большую сумму.

В нашем примере при допущении ε = 0.00 значения r_i(x) и r(x) показаны в табл. 9.2. По табл. 9.2 лучшим двигателем оказался дви­гатель фирмы A.

Турнирная таблица

При ранжировке по этой процедуре надо выбрать тот двигатель, у которого максимально число показателей, превосходящих показатели других двигателей (число «выигрышей»). Для этого построим матрицу S, такую что:

Или

Строки и столбцы матрицы S соответствуют множеству альтернатив в M. Такую матрицу называют обобщенной турнирной матрицей. Поясним построение матрицы S на примере таблицы. (, где l – идентификаторы параметров, P_l – l-ый параметр оценки двигателей. – параметр «чувствительности» - порог, соответствующий каждой характеристике l.

Наименование фирм	Значения n(x,y)	ω(x)
	A	B	C	D
A	-	2	1	2	5
B	1	-	1	1	3
C	0	2	-	0	2
D	1	0	0	0	1

Поскольку n(x,y) показывает число «выигрышей» двигателя x у двигателя y, т.е. число параметров двигателя x, показатели которых лучше показателя тех же параметров двигателя y, функция определяет общее число «выигрышей» двигателя x у других двигателей. Т.о., функция – последний столбец таблицы определяет «естественный» (для этой функции) порядок на множестве A. Лучшим оказался двигатель фирмы A.