Элементы теории катастроф

Теория катастроф может рассматриваться как один из разделов теории динамических систем. Понятие теории катастроф введено в 1972 г. Р. Томом, как скачкообразное изменение поведения системы в виде реакции на плавное изменение внешних параметров. Система теряет устойчивость, реагируя на изменение внешних параметров, и ее внутренние параметры при этом резко изменяются, что на практике может привести к катастрофе. Например, к разрушению конструкции. Потеря устойчивости означает появление качественно нового состояния, в ряде случаев такой переход носит бифуркационный характер рассмотренный нами ранее. Например, возникновение вращающихся ячеек Бенара в процессе появления конвективной неустойчивости при нагреве вязкой жидкости.

В многомерных пространствах существуют периодические и квазипериодические аттракторы в виде винтовых линий. Наиболее характерным из них является странный аттрактор, притягивающий множество неустойчивых фазовых траекторий диссипативной системы. При хаотическом движении фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а затем хаотически перемешиваются. Удаляться траектории могут в пределах ограниченного фазового пространства. Возникает область, заполненная хаотическими траекториями – странный аттрактор. Э. Лоренцем получен странный аттрактор, описывающий турбулентную конвекцию в атмосфере с использованием компьютерной технологии. Система совершает быстрые нерегулярные колебания в одной области фазового пространства, затем случайно перескакивает в другую область, совершая там такие же колебания, после чего через некоторое время возвращается обратно и т.д. Такое явление происходит в земной атмосфере, существенно затрудняя процесс прогноза погоды.

Странные аттракторы – математический образ, для которого невозможен долгосрочный прогноз.

Тем не менее, в странных аттракторах присутствует и порядок, как и в любом детерминированном хаосе. В природе существует лишь несколько универсальных сценариев перехода от хаоса к порядку и обратно.

Размерность странных аттракторов дробная. Такие объекты с дробной размерностью называются фракталами. Многие объекты окружающей нас природы – фракталы. Например, облака, снежинки, барханы и дюны, береговая линия материков и островов, коллоиды, отложения металла при электролизе, клеточные популяции и т.д. Известными геометрическими примерами фракталов являются остров Коха или ковер Серпинского. Последний представляет собой построение канторового множества в двухмерном пространстве. Исходный квадрат «а» как показано на рисунке в начале разбивается на девять одинаковых квадратов со стороной в три раза меньшей. Затем такая же процедура повторяется с каждым из девяти образовавшихся квадратов и т.д. В пределе при бесконечно большом построении получается фрактал – ковер Серпинского. Его размерность численно равна

Рис. 23.2. Зависимость стационарной численности популяции от управляющего параметра скорости роста

В некоторых случаях система переходит в состояние хаотичности по так называемому сценарию Фейгенбаума, получивший название универсальности Фейгенбаума как один из всеобщих механизмов перехода от порядка в хаос. Периодическое движение теряет свою устойчивость при изменении управляющего фактора в точке бифуркации. Вместо прежнего возникает другое устойчивое движение, либо предельный цикл с удвоенным периодом. В фазовом пространстве этому состоянию соответствует двухпериодическая траектория. При дальнейшем изменении управляющего фактора наступает очередная бифуркация с новым удвоением периода. Удвоения повторяются бесконечно, и система переходит в состояние странного аттрактора, который представляет собой фрактал типа канторовского множества как пример универсальности Фейгенбаума, может быть показан на зависимости стационарной численности популяции от управляющего фактора – скорости роста. Универсальность Фейгенбаума обнаружена при решении задач магнитной гидродинамики, движении вязкой жидкости, нелинейных колебаний в электрических цепях, роста популяций насекомых и т.д.