Что заставило Ивана Карамазова выступить на суде с самообвинением?

Очень просто: подсознательно он тоже вынашивал давно мысль об отцеубийстве, а недавние события, случившиеся с ним - особенно его разговор с чертом - пробудили в нем какие-то остатки совести, он почувствовал необходимость как-то перед народом исповедаться в этом деле, ибо страшно стало.

Как связаны Смердяков, Иван Карамазов и Инквизитор?

Карамазовщина" пронизала все поры современного общества в верхних слоях и уже заражает лакейское их окружение. Иван не без карамазовского цинизма предрекает смердяковым большое будущее на случай, когда в России "ракета загорится", то есть случится революция: "Передовое мясо, впрочем, когда срок наступит... Будут другие и получше... Сперва будут такие, а за ними получше". Отличительным свойством "карамазовщины" является циническое отношение к кормильцу нации — русскому мужику: "Русский народ надо пороть- с..." В карамазовской психологии все высшие ценности жизни попираются ногами, затаптываются во имя исступленного самоутверждения. Добродетели превращаются в исступленную форму самоутверждения, в великодушие эгоизма. Точно так же эгоистически — великодушно "любит" человечество Великий инквизитор в сочиненной Иваном легенде.