Из m уравнений с n неизвестными

Пусть дана однородная СЛАУ, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными

. (1)

Отметим, что добавление столбца из нулей не изменяет ранга матрицы СЛАУ (1). Поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли эта система всегда совместна и имеет, по крайней мере, нулевое решение (x₁ =x₂ =...,= x_n =0). Если определитель системы (1) отличен от нуля и число уравнений равно числу неизвестных, то по теореме Крамера, нулевое решение является единственным.

Рассмотрим теперь другой случай, когда ранг матрицы СЛАУ (1) меньше числа неизвестных, то есть r(A)<n. Тогда данная система кроме нулевого решения может иметь и ненулевые решения. Для нахождения этих решений нужно в системе (1) выделить r линейно независимых уравнений, а остальные отбросить. В выделенных уравнениях в левой части оставляем r базисных неизвестных, а остальные n-r свободных неизвестных переносим в правую часть. В результате, приходим к системе

(2)

решение которой можно определить по формулам Крамера или Гаусса.

В данной системе имеем r базисных неизвестных x₁, x₂, ..., x_r и n-r - свободных неизвестных: x_r+1, x_r+2, ..., x_n. Система (2) имеет бесчисленное множество решений. Однако, среди этого множества есть решения линейно независимые между собой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решения СЛАУ называются n-r линейно независимых решений однородной системы уравнений.

ПРИМЕР. Дана однородная система уравнений

Найти ее общее решение и фундаментальную систему уравнений.

Ш а г 1. Вычислим ранг матрицы системы, используя элементарные преобразования:

а) отбрасываем 2-й столбец, так как он пропорционален 1-му;

б) 3-й столбец сначала умножим на (-2) и прибавим ко 2-му, а затем умножим его на (-3) и сложим с 1-м, умножим на 2;

в) отбрасываем 1-й столбец, так как он пропорционален 2-му;

г) 1-й столбец умножим на 3 и прибавим ко 2-му;

д) 1-ю строку умножим на 5 и прибавим к 4-й;

е) отбрасываем 3-ю строку и делим 1-ю на (-1), а 2-ю - на 2.

Имеем

Так как r(A)= 2, то есть r £ min(m,n), то данная система имеет фундаментальную систему решений, число которых n -2=4-2=2.

Определим теперь общее решение системы. Для этого определим базисный минор, то есть минор второго порядка, отличный от нуля. Таким минором является, например, минор, составленный из коэффициентов при x ₃ и x ₄ в первом и втором уравнениях системы: Оставляя базисные неизвестные x ₃ и x ₂ в левой части и перенося свободные неизвестные x ₁ и x ₂ в правую часть, приходим к системе

Ее решение, которое определим по формулам Крамера, имеет вид:

Чтобы получить фундаментальную систему решений нужно найти любые два линейно независимых решения данной системы. Полагая сначала x ₁ = 1, x ₂ =0, имеем x ₃ =-2,5; x ₄ =3,5; полагая затем x ₁ =0, x ₂ =1, получим x ₃ =5, x ₄ =-7.

Таким образом, фундаментальная система решений имеет вид

,

а общее решение , где с ₁ и с ₂ - произвольные числа.