С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (1). Пусть ranq A = ranq , то есть система совместна. Не ограничиваясь общностью, будем считать, что базисный минор располагается в первых строках и столбцах матрицы A. Отбросив последние m-r уравнений системы (1), запишем укороченную систему

(2)

которая эквивалентна исходной.

Назовем неизвестные x₁,x₂,..., x_r базисными, а x_r+1,..., x_n - свободными. Перенесем слагаемыe, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнения (2). В результате, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно базисных неизвестных

(3)

которая для каждого набора значений свободных неизвестных x_r+1= c₁, x_r+2= c₂,..., x_n=c_{n-r .} имеет единственное решение: x₁= f₁,(c₁, c₂ ,..., c_{n-r ),} x₂= f₂,(c₁, c₂ ,..., c_{n-r ),...,} x_r= f_r,(c₁, c₂ ,..., c_{n-r ). Решение системы (3) можно} определить либо по методу Крамера, либо методом Гаусса.

Общее решение СЛАУ можно записать в виде матрицы-столбца следующим образом:

(4)