Другие виды неопределенностей и их раскрытие

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида , которые называют основными.

Неопределенности вида:

а) 0∙¥, б) ¥ – ¥, в) 0⁰, г) ¥⁰, д) 1^¥

сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

а) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида 0∙¥. Можно искомое выражение переписать в виде

или

б) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида ¥ – ¥.

.

В результате получаем либо определенность, либо неопределенность вида ¥∙0.

в) Пусть , . Требуется найти . Это неопределенность вида 0⁰.

Положив нужно прологарифмировать обе части полученного равенства:

.

Получим неопределенность типа 0∙¥. Вычислив , легко получить , т. е.

,

и если , то .

Аналогичным приемом находятся пределы и в случае г), д).

§ 5.Исследование функции одной переменной

Т е о р е м а 12. (о постоянстве функции на отрезке). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и имеет во всех его внутренних точках производную f ¢(x) = 0, то функция постоянна на отрезке [ a, b ].

Следствие. Если производные двух функций φ (х) и g (x) равны во всех точках отрезка [ a, b ], то разность этих функций постоянна на этом отрезке.

Т е о р е м а 13. (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на отрезке [ a, b ] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ].

Доказательство. Пусть f ¢(x) > 0 для всех х ∈ (a, b). Рассмотрим два произвольных значения х ₁ и х ₂ из [ a, b ], причем х ₁ < х ₂. Напишем формулу Лагранжа применительно к отрезку [ х ₁, х ₂]:

f (x ₂) – f (x ₁) = (x ₂ – x ₁)∙ f ¢(c), с ∈ (х ₁, х ₂).

По условию теоремы f ¢(с) > 0, т. к. х ₁ < х ₂, то и (х ₂ – х ₁) > 0. Тогда произведение

(х ₂ – х ₁)∙ f ¢(с) > 0

и, следовательно,

f (x ₂) – f (x ₁) > 0.

Отсюда f (x ₂) > f (x ₁), т. е. f (x) возрастает на отрезке [ a, b ]. Что и требовалось доказать.

Подобным же образом доказывается следующая теорема.

Т е о р е м а 14. (достаточное условие убывания функции). Если непрерывная на отрезке [ a, b ] функция у = f (x) в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на отрезке [ a, b ].

Определение10. Функция у = f (x) имеет максимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ¹ с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) > f (x).

Функция у = f (x) имеет минимум в точке х = с, если существует такая окрестность точки х = с, что для всех точек х ¹ с из этой окрестности, выполняется неравенство f (с) < f (x).

Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции.

Геометрическое истолкование.

Значения функций f (с ₁) и f (с ₃) больше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с ₁ и с ₃ соответственно, следовательно в точках с ₁ и с ₃ функция f (х) имеет максимум.

Аналогично, значение функций f (с ₂) и f (с ₄) меньше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от с ₂ и с ₄ соответственно, следовательно в точках с ₂ и с ₄ функция f (х) имеет минимум.

Следует отметить, что если функция имеет в точке максимум или минимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее или наименьшее значение во всей области ее определения. Из определения максимума (минимума) следует только то, что это самое большее (меньшее) значение функции в точках, достаточно близких к точке с.

Нетрудно видеть, что функция, изображенная на рисунке имеет наименьшее значение в точке с ₂, а наибольшее в точке х = b, т. е.

f _наим = f (с ₂), f _наиб = f (b).

Может оказаться, что минимум функции больше чем максимум:

f _max(c ₁) < f _min(c ₄).

Т е о р е м а 15. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке х = с функция у = f (x) имеет в этой точке экстремум, то ее производная при х = с обращается в ноль, т. е. f ¢(с) = 0.

Доказательство. Пусть, для определенности, функция у = f (x) имеет в точке с максимум. Согласно определению максимума, должна существовать такая окрестность точки с, что для любого х (х ¹ с) этой окрестности

f (с) > f (x),

т. е. f (с) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Так как по условию функция имеет в точке с производную f ¢(с), то по теореме Ферма

f ¢(с) = 0.

Аналогично доказывается теорема и для случая минимума функции.

Замечание. Функция может достигать экстремума, так же в точке, в которой производная не существует. Например, у = | x | не имеет производной в точке х = 0, но достигает в ней минимума. Функция , не имеет в точке х = 0 производной, но достигает в ней максимума.

С л е д с т в и е. Если непрерывная функция у = f (x) имеет в точке х = с экстремум, то производная f ¢(с) обращается в ноль или не существует.

Определение 11. Значения аргумента, при которых производная обращается в ноль или терпит разрыв, будем называть стационарными или критическими точками функции (точки подозрительные на экстремум).

Замечание. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума, т. е. условие того, что у ¢ = 0 не является достаточным условием существования экстремума. Так, например, функция у = х ³ в точке х = 0 имеет f ¢(0) = 0:

у ¢ = 3 х ² = 0, следовательно х = 0,

х = 0 – стационарная точка. Однако в этой точке функция не имеет экстремума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда х ³ < 0 при х < 0 и х ³ > 0 при х > 0.

Т е о р е м а 16. (первый достаточный признак существования экстремума). Если производная функции f ¢(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку х = с меняет знак с плюса на минус, то функция в точке с имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум, т. е. если f ¢(с) = 0 и

– при f (c) –максимум;

– при f (с) – минимум.

Замечание. Если производная f ¢(x) не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Т е о р е м а 17. (второй достаточный признак существования экстремума). Пусть f ¢(с) = 0. Тогда, если f ¢¢(с) < 0, то в точке х = с функция имеет максимум; если f ¢¢(с) > 0, то в точке х = с функция имеет минимум.

Определение 12. График функции у = f (x) называется выпуклым вверх (выпуклым) в интервале (а, b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции у = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым) в интервале (а, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

График выпуклый График вогнутый

Т е о р е м а 18. (достаточный признак выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть у = f (x) имеет вторую производную во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала f ¢¢(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый, если же f ¢¢(х) > 0, – вогнутый.

Определение 13. Точка графика, при переходе через которую график функции у = f (x) меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих теоремах.

Т е о р е м а 19. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная f ¢¢(х) меняет знак при переходе через точку х ₀, то точка с абсциссой х = х ₀ является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, f ¢¢(х) < 0 при x < x ₀ и f ¢¢(х) > 0 при x > x ₀. В этом случае слева от точки х ₀ график выпуклый, а справа от точки х ₀ – вогнутый.

Следовательно, при переходе через точку х ₀ график у = f (x) меняет характер выпуклости. Тогда по определению точка х ₀ является точкой перегиба.

Т е о р е м а 20. (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция у = f (x) имеет в интервале (а, b) непрерывную производную f ¢¢(х). Тогда, если точка с абсциссой x ₀ ∈ (а, b) является точкой перегиба графика данной функции, то f ¢¢(х ₀) = 0.

Доказательство. Пусть х ₀ – точка перегиба с выпуклости на вогнутость, тогда f ¢¢(х) < 0 при х < х ₀ и f ¢¢(х) > 0 при х > х ₀. Тогда по первому достаточному признаку существования экстремума (теорема 5) х = х ₀ – точка минимума функции f ¢(х). Следовательно, по необходимому условию существования экстремума (теорема 4) f ¢¢(х ₀) = 0.

Рассмотрим рисунки:

Определение 14. Асимптотой графика функции у = f (x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат (см. примеры на рис. выше).

Классификация асимптот: наклонная (не параллельна ни одной из осей координат), горизонтальная (параллельна оси Ох), вертикальная (параллельна оси Оу).