Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т. е. С¢ = 0.

Доказательство. Пусть у = С = const, тогда ∆ у = 0. Следовательно,

.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.

(U ± V)¢ = U ¢ ± V ¢.

Доказательство. Пусть у = U ± V. Зададим ∆ х.

Новому значению х + ∆ х аргумента соответствуют новые значения наших функций U + ∆ U и V + ∆ V. Тогда

∆ y = ∆(U ± V) = [(U + ∆ U) ± (V + ∆ V)] – (U ± V) = ∆ U ± ∆ V,

Найдем

.

3. Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна

(U × V)¢ = V∙U ¢ + U∙V ¢.

Доказательство. Пусть у = U × V. Дадим х приращение ∆ х.

Новому значению х + ∆ х аргумента соответствуют новые значения функций U + ∆ U, V + ∆ V. Тогда функция U V получит приращение

∆ y = ∆(U × V) = [(U + ∆ U) (V + ∆ V)] – U V =

= U V + V ∆ U + U ∆ V +∆ U ∆ V–UV = V ∆ U + U ∆ V +∆ U ∆ V.

По определению производной

При доказательстве формулы надо учесть, что функция U (x) дифференцируема, и, следовательно, непрерывна, т. е. .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е.

(С∙у)¢ = С× у ¢.

Доказательство. (С×у)¢ = С× ¢ у + С×у ¢ = С×у ¢.

5. Производная отношения двух функций равна

Доказательство. . Составим ∆ у

и найдем

В доказательстве формулы снова было учтено, что из дифференцируемости функции V (x) следует ее непрерывность, т. е. .

6. Производная сложной функции. Пусть у = f (U), U = φ (x). Производная сложной функции f (φ (x)) равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

где вместо U должно быть подставлено выражение U = φ (x). Коротко,

.

7. Производная обратной функции. Производные от взаимно обратных функций обратные по величине

или .

8. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функция у (х) задана параметрическими уравнениями

Дифференцируя у = ψ (t) по правилу дифференцирования сложной функции, получим

Производную найдем по правилу дифференцирования обратной функции

Окончательно , что можно короче записать так .