Функциональные последовательности и ряды. Основные определения

Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .

Определение. сходится в точке , если числовая последовательность сходится. Множество всех точек в которых сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .

- область сходимости . Пусть - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве . Эта функция называется предельной функцией последовательности .

Замечание. Точечная сходимость на некотором множестве не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)