Композиция из золотых

софокусных эллипса и гиперболы (рис.12.40)

. Если эллипс (по рис. 12.37) и гипербо-ла (по рис. 12.38) с о ф о к у с н ы, т.е., имеют общие фокусы, то они образуют гар-моничную геометрическую систему с зако-номерной структурой конструктивных свя-зей и отношений между их элементами.

К числу основных изобразительных свойств этой структуры относятся следую-щие:

1. Софокусные эллипс и гипербола «взаимно-перпендикулярны», т.е., ортого-нально сопряжены, так как в точках их пере-сечения M, N, P и Q касательные к одной линии являются нормалями к другой и нао-борот;

2. Ортогональная сопряженность элли-пса и гиперболы определяет ортогональ-ную сопряженность их конструктивных эле-ментов: вершин, фокусов и оснований ди-ректрис. Это значит, что эти точки являются концами тождественно-расположенных на горизонтальной оси K¢ O L ¢ гипотенуз пря-моугольных треугольников, прямые углы ко-торых инцидентны вертикальной оси СОD. В частности:

2.1. Директрисы эллипса и гиперболы соответственны в ортогональном сопряже-нии, так как их основания являются раз-ными полюсами одних и тех же поляр,-- об-щих фокальных хорд MN и PQ;

2.2. Вершинам А и В эллипса ортого-нально сопряжены (соответствуют) фокусы F¹ и F² гиперболы и наоборот, вершинам А

и В гиперболы соответствуют фокусы F¹ и F² эллипса;

2.3.Точки М, N, P и Q пересечения софокусных гиперболы и эллипса явля-ются вершинами квадрата со сторонами, равными их фокальным хордам;

2.4. Центральный прямоугольник, длин-ные стороны которого совпадают с дирек-трисами d¹ и d² гиперболы, а короткие друг от друга на расстояние между её вершинами А и В, является золо-тым, так как он выдержан в пропор-ции 1,236: 2 или 0,618: 1,000;

2.5. Все прямоугольники данной структуры, диагонали которых па-раллельны или соответственно пер-пендикулярны диагоналям центра-льного золотого прямоугольника, яв-ляются золотыми;

2.6. Отношения диагоналей ром-бов, образованных касательными как к гиперболе, так и к эллипсу, являются золотыми, и др.

Эти свойства дают основания назвать всю геометро-графическую композицию из софокусных гипербо-лы и эллипса золотой, так как она приводит в закономерное гармонич-ное расположение различные точки, прямые, прямоугольники, ромбы, ок-ружности, эллипс и гиперболу.

Рис. 12.40. Композиция из софокусных золотых

эллипса и гиперболы