Сопряженных гипербол

(рис.12.39)

Если построить гиперболу n, сопряжен-ную с гиперболой m и отнесенную к её асимптотам, то их директрисы d¹, d², d³ и d⁴, пересекаясь, определят директрисный пря-моугольник (2а х 2b), выдержанный в «зо-лотой пропорции» (2а: 2b = 1,236: 2,0),т.е., как 0,618: 1,0. В такой же пропорции нахо-дятся стороны прямоугольника, одна из ко-торых равна расстоянию между вершинами А и В гиперболы m, а вторая, - расстоянию между фокусами F³ и F⁴ гипер-болы n, т.е., длине фокальной хорды гиперболы m.

К числу интересных конст-руктивных особенностей таких сопряженных гипербол относят-ся следующие:

1. Основания К и L дирек-трис d¹ и d² гиперболы m в па-

ре с основаниями M и N ди-ректрис d³ и d⁴ задают направ-ления касательных к ветвям m¹, m² гиперболы m, точки касания к которым определяют фокаль-ные хорды этих ветвей как поля-ры, отнесенные к точкам K и L как к полюсам;

2. Фокальные хорды F^3,F⁴ гиперболы n определяются точ-ками касания к n¹, n² прямых, за-даваемых основаниями М и N их директрис d³ , d⁴, а также точками 1 и 2 на её мнимой оси, удалёнными от центра на расстояния, равные величинам ОС и ОD её действи-тельных полуосей;

3. Касательные к ветвям n¹ и n² гипер-

болы n перпендикулярны к её асимптотам;

4. Диагонали «фокально-вершинного» ромба F¹CF²D находятся в золотой пропор-ции, так как CD: F¹F² = 2: 2,236;

5. Собственно ветви m¹, m² и n¹, n² со-пряженных гипербол m и n являются резу-льтатом подерных преобразований окруж-ностей радиусов ОА и ОС относительно со-ответственных фокусов F¹, F² и F³, F⁴, и т.д.

Внимательный анализ системы этих 2-х гипербол раскроет ещё ряд интересных конструктивных особенностей их геометри-ческой структуры, не наблюдаемых у ги-пербол с пропорциями их элементов, отлич-ными от золотой. Это даёт основание наз-вать такие сопряженные гиперболы золоты-ми.

Определение 12.12. Две сопряженные гиперболы, директрисы которых, пересе-каясь, образуют прямоугольник с золотым отношением сторон, называются золо-тыми.