системы xy по линии AB

Для тектологического пространства такой поворот означает изменение характеристик системы при ее перемещении в другую точку пространства даже тогда, когда внешние условия будут по основным параметрам одинаковыми.

Вновь приходим к выводу об уникальности каждой организационной системы.

8. 5. Исследуя проблемы системной дифференциации, А.А.Богданов и ряд других исследователей показали, что параллельно развивающиеся формы, даже если они имеют одного «предка» и появились как «близнецы», путем деления ранее единой системы всегда расходятся. Одновременно, А.А.Богданов рассматривает и процесс схождения форм. При этом он подчеркивает, что сила, воздействующая на систему, производит несходные изменения в различных его частях, делая однородное многообразным, а многообразное еще более однородным. С точки зрения А.А.Богданова, всякая дифференцированная часть служит не только центром новых дифференциаций, но и источником их, ибо, становясь все более и более отличной от других частей, она становится центром различных реакций на посторонние силы, и, увеличивая, таким образом, разнообразие действующих сил, увеличивает разнообразие порождаемых ими следствий.

Все это вновь выводит нас на постулаты геометрии Лобачевского.

Рассмотрим прямую AB и две параллельные ей прямые К¹СК и LCL¹, проходящие через точку C (см. рис. 2.9.)[44].

В соответствии с теоремами геометрии Лобачевского угол параллельности w в точке относительно прямой представляет собой однозначную функцию .

(2.5.)

Следовательно, угол параллельности представляет собой инвариант движения. Функция монотонно и непрерывно изменяется в пределах: при изменении в пределах

Рис. 2.9. Параллельные линии в плоскости Лобачевского.

Взаимосвязь между длиной отрезка и углом параллельности определяется соотношением:

или

(2.6.)

- гиперболический тангенс длины отрезка x.

Чем дальше точка отстоит от прямой (чем больше длина перпендикуляра ), тем меньше угол параллельности и тем быстрее идет расхождение или схождение прямых, хотя и в последнем случае пересекутся они только на бесконечности. Следовательно, чем дальше отстоят друг от друга начальные точки (в нашем случае точки и ) тем угол параллельности меньше и тем быстрее идет процесс расхождения или схождения.

Аналогами этим процессам в природе, как мы уже говорили, являются процессы системной дифференциации и процессы схождения форм, которые идут тем быстрее, чем дальше друг от друга находились начальные точки этих процессов. Имеет объяснение и тот факт, что в случае схождения форм, они «пересекутся» только на бесконечности: в природе нет абсолютно одинаковых объектов, и сколь бы ни были они близки – хотя бы незначительные различия все равно остаются.

Таким образом, сопоставление некоторых постулатов и теорем геометрии Лобачевского с фундаментальными свойствами систем позволяют вскрыть ряд аналогий между теми и другими, что может свидетельствовать в пользу выдвинутой нами гипотезы относительно характера геометрии тектологического пространства.

9. Для дальнейшей проверки гипотезы рассмотрим некоторыеследствия из теорем геометрии Лобачевского и также сопоставим их с тем, что мы знаем о свойствах систем.

9.1. В геометрии Евклида для определения длины (измерения) некоторого отрезка необходимо задать другой отрезок (или систему отрезков) и указать геометрическое построение, посредством которого первый может быть получен из второго (обычно задается единица длины и число, выражающее длину определяемого отрезка).

В геометрии Лобачевского достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого определяемый отрезок может быть получен (например, как сторона равностороннего треугольника, с углом, получаемым из прямого при помощи того или иного построения). Это вытекает из следующей теоремы гиперболической геометрии: каков бы ни был острый угол , всегда существует один и только один отрезок, а при установленной единице меры – одно и только одно такое число , что выполняется уравнение (2.6.). Каждому углу параллельности соответствует только один отрезок, определяющий расстояние от данной прямой до точки, лежащей вне этой прямой. Отсюда и следует возможность определения меры без задания эталонных отрезков: нужно знать лишь угол параллельности. Следовательно, если в реальном пространстве имеет место геометрия Лобачевского, то единица длины может быть задана определенным геометрическим построением. Это значит, что абсолютные единицы длины в гиперболическом пространстве не зависят от задания тех или иных эталонов.

Для примера рассмотрим некоторое тектологическое пространство, например, совокупность экономических систем. В качестве меры для любых оценок здесь используются денежные единицы. Но после ликвидации золотого стандарта в 1972 году исчез и эталон для задания этой меры. Курсы валют определяются по отношению к доллару, но кто способен сказать, какова сегодня стоимость самого доллара? Отсюда ясно, что финансовое (экономическое) пространство есть пространство Лобачевского, поскольку для измерений в нем никакого эталона не требуется: экономика вполне обходится «геометрическим построением» - заданием отношения валют к какой - либо из них и определением их соотношения между собой.

9.2. Одно из основных уравнений геометрии Лобачевского определяет соотношение между отрезком x и углом параллельности следующим образом:

(2.7.)

где k – есть некоторая постоянная, называемая постоянной гиперболической плоскости, или показатель кривизны этой плоскости.

Величина кривизны () зависит от выбора единицы длины, в которой измеряется расстояние x, и с изменением единицы меры изменяется пропорционально ей. Соотношение при этом не меняется. Верно и обратное утверждение: если меру выбирать так, чтобы соотношение не менялось, то мера будет представлять собой масштаб, которым измеряется само пространство. В случае гиперболического пространства есть показатель кривизны этого пространства.

С изменением масштаба пространства, точнее, с уменьшением той области, где пространство более или менее однородно по своим свойствам, кривизна его также будет меняться: к примеру, в космосе кривизна пространства вдали от скоплений значительных масс вещества будет иной, чем в области, где воздействие больших масс сильно. В «черных дырах» она такова, что электромагнитные излучения оказываются не в состоянии покинуть их.

Разумеется, масштабы рассматриваемого нами тектологического пространства несопоставимы с космическими масштабами. Но и концентрация точек пространства, также несопоставима с концентрацией масс в космосе: она всегда неизмеримо выше. Следовательно, эффекты искривления тектологического пространства и иные следствия постулатов и теорем геометрии Лобачевского должны проявляться в нем и тогда, когда объем физического пространства, в которое «вложена» та или иная разновидность тектологического пространства несоизмеримы по масштабам.

Рассмотрим интересующие нас величины в условиях, например, экономического пространства какой-либо страны. В каждом случае единицы масштаба будем выбирать так, что кривизна пространства была бы равной отрицательной единице.

Найдем при этих условиях величину соотношения (2.7.) для эталонного (единичного) отрезка. То есть для случая , . Тогда:

(2.8.)

Таким образом, для единичного отрезка в гиперболическом пространстве тангенс половины угла параллельности равен .

Величина известна из так называемого принципа оптимальной избыточности систем: при изменяющейся величине основного системообразующего параметра (например, доли используемой производственной мощности предприятия), устойчивые состояния системы достигаются при наличии избыточности величины этого параметра , которая составляет: . Зеркальное отображение величины - есть оптимальная величина используемой мощности системы, при которой она функционирует наиболее устойчиво. Налицо полное совпадение и нам представляется, что оно вряд ли может быть случайным.

9.3. Наиболее существенной характеристикой любых процессов в тектологическом пространстве является скорость. Все остальные характеристики, так или иначе, связаны с нею и могут быть получены путем соответствующих преобразований. Следовательно, тектологическое пространство может быть представлено как пространство скоростей (рис.2.10).

Рис. 2.10. Построение пространства скоростей

(на рисунке показано начало отсчета – точка 0 и четыре точки - 1,2,3, 4, каждой из которых соответствует некоторая частица с определенной скоростью)

Под этим термином понимается такое пространство, каждой точке которого соответствует частица (в нашем случае – система или элемент системы), движущаяся с данной скоростью . Реально точкам такого пространства соответствуют концы векторов скоростей частиц, проведенных из точки 0 (начала отсчета) (рис.6а). Проектируя это пространство на плоскость, получаем своеобразную «карту скоростей» (см. рис.2.10 б)

Для конкретности рассмотрим экономическое пространство. В соответствии с принятой нами гипотезой это есть пространство Лобачевского. Стало быть, пространство скоростей в данном случае то же есть гиперболическое пространство. Но поскольку геометрия Лобачевского есть геометрия релятивистского пространства скоростей, это значит, что в таком пространстве, существует предельная и конечная скорость передачи сигнала (взаимодействия), во-первых, и, во-вторых – действует кинематика, сходная с кинематикой теории относительности.

Наличие предельных скоростей в экономических системах – факт, который не представляется чем-то необычным. Возьмем некое предприятие и представим идеальный случай: предприятие оснащено всем, что может дать достигнутый в мире уровень развития науки, техники и технологии; КПД технологических процессов, машин и механизмов равны теоретически возможным величинам; все без исключения оборудование полностью загружено в течение 24 часов в сутки, работает на пределе своей мощности, все технологические процессы сопрягаются по самым оптимальным схемам, организация труда и производства идеальна и т.д. В этом случае мы будем иметь пример предельно возможной и недостижимой для реальных производственных условий скорости выпуска продукции (подобно тому, как недостижима для вещественных объектов скорость света)[45].

Вообще, проблема скоростей в экономических системах представляется крайне важной. Существование системы в целом зависит от согласованности скоростей процессов обмена между ее элементами и отдельными подсистемами, а также системой в целом. Согласование скоростей всегда связано с их сложением, понимаемым в широком смысле, как сложение векторов. В этом случае даже простое сравнение каких-либо величин можно рассматривать как частный случай сложения. Но поскольку мы имеем дело с пространством Лобачевского правила сложения скоростей, аналогичные правилам классической механики здесь уже не действуют. Требуется введение таких правил, которые описывались бы соотношениями, аналогичными преобразованиям Лоренца. Иными словами, требуется переход к кинематике гиперболического пространства.

Рассмотрим проблему по аналогии с тем, как она решена специальной теорией относительности.

Связь теории относительности с геометрией Лобачевского основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света при делении обеих частей уравнения на , приводит к уравнению сферы в пространстве скоростей: . Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу. Следовательно, согласно модели Клейна в пространстве скоростей внутри сферы радиуса , то есть для скоростей меньших скорости света имеет место геометрия Лобачевского. Этот позволяет дать истолкование сложению скоростей в теории относительности как сложению отрезков в геометрии Лобачевского.

Пользуясь этой аналогией, рассмотрим проблему сложения скоростей в тектологическом пространстве. Обозначим предельную скорость процессов в системе ; скорость реально происходящего процесса . Примем за единицу измерения скоростей в системе – относительную скорость, измеренную в долях максимально возможной скорости. Тогда: . Приняв , мы существенно упростим в дальнейшем наши формулы. Проектируя это пространство на плоскость, получаем карту пространства скоростей (см. рис.2.11.).

Рис. 2.11. Карта скоростей в релятивистском пространстве.

В этом случае карта принимает вид круга радиусом равным 1 и с началом отсчета в его центре (точка 0). Окружность, ограничивающую площадь круга мы будем называть абсолютом нашей карты скоростей.

Если относительная скорость , то расстояние в пространстве скоростей неограниченно возрастает. Это означает, что движению со скоростью в пространстве скоростей соответствуют бесконечно удаленные точки. На карте скоростей они изображаются точками абсолюта.

Квадрат расстояния между двумя точками пространства (например, и ) равен квадрату их относительной скорости, измеренной по часам и . В геометрии Лобачевского это же расстояние в релятивистском пространстве скоростей (относительная скорость двух точек и - ) определяется из выражения:

(2.9.)

Иными словами, относительная скорость двух точек в пространстве скоростей равна гиперболическому тангенсу расстояния между этими точками в указанном пространстве.

Проиллюстрируем это на простейшей кинематической задаче движения трех тел вдоль одной прямой, адаптировав его применительно к нашим целям. Рассмотрим систему , движущуюся со скоростью относительно некоторой точки отсчета .

Предположим, что подсистема интересующего нас объекта также движется в том же направлении со скоростью относительно системы . (См. рис. 9.)

Рис. 2.12. Расстояния в пространстве скоростей между тремя точками.

В пространстве скоростей точки , , лежат на одной прямой. Расстояние определяется скоростью систем относительно точки 0: ; расстояние между точками и - - скоростью подсистемы относительно самой системы . Расстояние между точками 0 и P - определяется скоростью точки P относительно точки 0.

В простейшем случае механики Ньютона эта скорость есть сумма скоростей точки C и P и . Но в нашем случае складываются не скорости, а расстояния в пространстве скоростей.

(2.10.)

В результате, мы получили известную релятивистскую формулу сложения скоростей, исходя только из теорем геометрии Лобачевского, а не из преобразований Лоренца.

Обобщение данных физических экспериментов с релятивистскими частицами позволило сделать еще один вывод, имеющий фундаментальное значение: угол параллельности в геометрии Лобачевского определяется соотношением между реальной скоростью частицы и предельной скоростью передачи сигнала в релятивистском пространстве скоростей:

(2.11.)

Таким образом, с точки зрения релятивистской кинематики величина скорости движущейся системы, выраженная в относительных единицах (в физике – в единицах скорости света) равна косинусу угла параллельности геометрии Лобачевского.

Это положение дает действенный инструмент для определения параметров тектологического пространства.

[1] См. Сетров М.И. Основы функциональной теории организации. Философский очерк. Л.: "Наука", 1972. С.7

[2] Богданов А.А. Тектология. С. 23

[3] Там же. С.23

[4] См. Корюкин В.И. Концепции уровней в современном научном познании. Свердловск, УрО АН СССР, 1991.

[5] Математика в современном мире. М.: «Мир», 1967. С.16-17

[6] См. Корюкин В.И. Указ.соч.

[7] См. Потехин Н.А. Методология развития социально-экономических наук в XXI веке. «Известия Уральского государственного экономического университета.№1, 1999, стр.4 -17

[8] Детальнее см. Корюкин В.И. Указ. соч. С.32-34

[9] Богданов А.А. Тектология. С. 23-24

[10] Богданов А.А. Богданов А.А. Тектология. Всеобщая организационная наука. Международный институт Александра Богданова. М.: «Финансы», 2003 С. 49

[11] Богданов А.А. Тектология. С.27

[12] Богданов А.А. Тектология. С.29

[13] Там же. С.30

[14] Богданов А.А. Тектология. С.30

[15] Там же. С.30

[16] Винограй Э.Г. Методологические принципы организационной оптимизации систем Сб. Проблемы методологии управления социальными процессами. Издательство Томского университета. Томск, 1974(стр.19-58)

[17] Богданов А.А. Тектология. С. 32

[18] Богданов А.А. Тектология. С. 32

[19] Богданов А.А. Тектология. С. 33

[20] Тахтаджян А.Л. Тектология: история и проблемы. Сб. Системные исследования. Ежегодник 1971, М.: Наука, 1972, стр. 274-275

[21]Александров Е.А., Боголепов В.П. О некоторых организационных критериях качества функционирования систем (к вопросу о создании математического аппарата теории организации). Сб. Организация и управление. М.:«Наука», 1968стр.57-63

[22] Ляпунов А.А. В чем состоит системный подход к изучению реальных объектов сложной природы. Системные исследования. Ежегодник 1971. М.: «Наука», 1972, стр. 11

[23] Болховитинов В.Ф. Пути развития летательных аппаратов. М.: Оборонгиз",1962. С.5

[24] Болховитинов В.Ф. Указ.соч. стр.7

[25] Болховитинов В.Ф. Указ.соч. С.8

[26] Там же. С.8-9.

[27] Подробнее см. Образцова Р.И. Кузнецов П.Г. Пшеничников С.Б. Инженерно - экономический анализ транспортных систем. М.: «Наука»,1990

[28] Болховитинов В.Ф. Пути развития летательных аппаратов. М.: Оборонгиз",1962, С.7.

[29] Конторов Д.С., Михайлов Н.В., Саврасов Ю.С. Основы физической экономики. (Физические аналогии и модели в экономике). М.: «Радио и связь», 1999. С.18.

[30] Сурнина Н.М. Пространственная экономика: проблемы теории, методологии и практики/ Науч. Ред. Е.Г.Анимица. – Екатеринбург: Изд.-во Урал.гос.экон.ун-та, 2003

[31] Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: «Советское радио», 1978. С.11

[32] Философская энциклопедия. В 5-ти томах. Т.4. М.: «Советская энциклопедия», 1967

[33] Физическая энциклопедия в 5-ти томах. Т.4. М.: «Большая российская энциклопедия», 1994

[34] Математический энциклопедический словарь. М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.

[35] Экономико-математический энциклопедический словарь/ Гл. ред. В.И. Данилов – Данильян. М.: «Большая Российская энциклопедия», 2003

[36] Математическая энциклопедия. М.: Сов. энцикл. 1984.

[37] Применительно к исследованию социального пространства одним из первых гипотезу том, что его геометрия есть геометрия Лобачевского, выдвинул А.А.Давыдов. Давыдов А.А. Геометрия социального пространства (постановка проблемы)// Социологические исследования, № 8 1996 г. C. 96-98.

[38] В самом общем случае, кривизна линии, поверхности, пространства есть мера их отклонения от линии, поверхности, пространства Евклидовой геометрии.

[39] Для более детального ознакомления с этими проблемами можно рекомендовать: Каган В.Ф. Основания геометрии. Т. I, М-Л.: Издательство технико-теоретической литературы, 1949; Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. Издательство технико-теоретической литературы, 1949. М.: 1955; Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. Изд. 3-е. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 72 с.; Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Изд. 3-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 80 с.

[40] Предположим, что S₁ – это клуб собаководов, членом которого является сотрудник A; S₂ и S₃ соответственно, клуб любителей кактусов и партийная организация, скажем ЛДПР, членом которых является сотрудник B. Ясно, что эти структуры могут вообще никогда не пересекаться.

[41] Напомним формулировку этого постулата: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

[42] Без этого условия (выделения предмета наблюдения, управления и контроля) исследование систем вообще невозможно.

[43] Ковалевски С. Научные основы административного управления. М.: «Экономика», 1979

[44] Напомним, что речь идет о параллельности в смысле Лобачевского.

[45] Подобный прием расчета предельных скоростей или предельных технических возможностей системы, для анализа экономических процессов использован в ряде работ П.Г.Кузнецова и его соавторов. См., например, Образцова Р.И. Кузнецов П.Г. Пшеничников С.Б. Инженерно - экономический анализ транспортных систем. М.: «Наука»,1990