И теорема треугольников на поверхности псевдосферы

Гауссова кривизна псевдосферы во всех её точках отрицательна и одинакова:

(2.4.)

Две симметричные части псевдосферы разделяются параллелью , являющейся касательной к крайним точкам трактрисы и являющейся краем псевдосферы [39]. На поверхности псевдосферы выполняются все теоремы и постулаты геометрии Лобачевского (см. рис. 2.5.)

8. Рассмотрим выдвинутую гипотезу и следствия из нее более детально.

8.1. Геометрия Евклида, как уже говорилось, есть кинематика твердого тела; точки пространства Евклида это твердые тела и их совокупности. Носитель же организационных явлений и процессов - систему том смысле как она понимается в общей теории систем нельзя уподобить абсолютно твердому телу в смысле ньютоновой механики. В силу этого, свойства систем, определяющие их пространственные характеристики, коренным образом отличаются от свойств твердых тел и вообще механических систем.

8.2. Возможность построения на одном и том же субстрате множества структур, а, следовательно, и множества систем, предполагает и наличие таких из них, которые существуют параллельно и никогда не пересекаются.

Возьмем для примера некий хозяйствующий объект (рис. 2.6.).

Рис.2.6. Взаимосвязь структур в системе

В составе этого объекта существует множество подсистем - производственные подразделения, социальные подсистемы (профсоюзы и проч.), неформальные группы и объединения и т.п. Каждый сотрудник этой фирмы может входить в состав самых разнообразных структур и потому являться элементом самых разных систем.

Рассмотрим два взаимосвязанных элемента системы A и B (например, двух человек, включенных в структуру подсистемы управления данным объектом). Структура, в которую входят оба элемента показана в виде прямой AB. Граница пространства, которое определяет систему управления, выделена пунктирной окружностью. Выделим для каждого элемента несколько структур, в которые они входят в качестве элементов, помимо того, что каждый из них входит еще и в структуру системы управления. Для объекта A такой структурой является структура S₁ (на рисунке эта структура показана в виде прямой); для объекта B имеются две структуры S₂ и S₃, которые на рисунке показаны в виде пересекающихся в точке B прямых. Прямая S₁, совместно с точками A и B, определяют плоскость в рассматриваемом нами пространстве. Но лежащие в этой же плоскости структуры S₂ и S₃ могут и не пересекаться со структурой S₁, хотя и лежат в одной «плоскости» (например, в одной и той же сфере деятельности)[40].

Таким образом, постулат о параллельных Евклида в данном случае оказывается явным образом нарушенным. Возможность же построений, подобных показанному на рисунке 2.6., наводит на мысль, что с геометрической точки зрения мы имеем здесь полный аналог постулата о параллельных Лобачевского[41].

8.3. Любая система всегда отграничена от других систем, относительно замкнута[42]. Процессы, происходящие на границе системы во всех аспектах отличны от процессов, происходящих внутри этой же системы; закономерности движения элементов системы, находящихся на ее границе с внешней средой, отличаются от закономерностей динамики элементов, которые находятся внутри системы. Это требует отдельного рассмотрения пограничных элементов, то есть объективно предполагает их исключение из анализа при исследовании внутренней системной динамики.

Но исключение граничных элементов из анализа приближает нас к одной из интерпретаций геометрии Лобачевского – модели Клейна. (см. рис.2.7.)

Рис.2.7. Модель геометрии внутреннего пространства системы

(модель Клейна)

Суть этой модели для нашего случая состоит в следующем.

Пусть имеется некоторая тектологическая поверхность, ограниченная окружностью (аналог такой модели выше был показан на примере пространства системы управления). Точки на окружности исключаем из рассмотрения. Внутренность круга назовем плоскостью. Точкой на такой плоскости будет точка внутри круга, «прямыми» – любые хорды с исключенными концами, «движением» - любое преобразование круга самого в себя, которое переводит хорды в хорды.

Равными называют фигуры, находящиеся внутри круга, которые переводятся одна в другую такими преобразованиями.

Оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет собой либо аксиому, либо теорему геометрии Лобачевского. Так аксиома о параллельных Евклида здесь явно не выполняется: через точку, лежащую вне данной хорды, можно провести сколь угодно хорд, не пересекающих данную. Геометрия Лобачевского в такой интерпретации есть не что иное, как геометрия внутри круга, а геометрия в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара.

Таким образом, геометрия внутреннего пространства (внутренней среды) системы с исключенными из рассмотрения пограничными элементами (границами) есть геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия).

8. 4. Отсутствие в геометрии Лобачевскогоподобных, но не конгруэнтных фигур полностью перекликается с известным свойством уникальности любых организационных структур. Эта уникальность проявляется, в частности, в невозможности масштабирования организационных структур, то есть, например, невозможности полного копирования органами управления, находящимися на низших ступенях управленческой иерархии структуры органов, находящихся на более высоких иерархических ступенях. В простейшем виде это свойство нашло свое отражение в сформулированном С.Ковалевски законе квадрата и куба, исходящем из того, что масштабированию поддаются только такие фигуры, которые имеют не более двух измерений, то есть двумерные, плоские фигуры. В многомерных же фигурах, начиная с куба, изменение масштаба приводит к искажению всех остальных пропорций[43] [15].

С точки зрения развиваемой нами концепции масштабированию не поддаются никакие, в том числе и двумерные фигуры.

Далее. Как и во всяком пространстве с заданной метрикой в пространстве Лобачевского можно ввести параллельный перенос вдоль геодезической линии. При этом из-за кривизны пространства система окажется повернутой на некоторый угол (см. рис. 2.8.)

Рис. 2.8. Система XY, полученная параллельным переносом