Расчет погрешностей

Любое измерение производится с какой-то степенью точ­ности. Это связано с несовершенством измерительных приборов, методики измерений, несовершенством органов человеческих чувств и т.п. При этом измеренная величина всегда отличается от ее истинного значения. Другими словами, всякое измерение характеризуется наличием ошибок - погрешностей. Во многих случаях погрешности оказываются весьма значительными. Поэто­му в задачу экспериментатора помимо измерения искомой вели­чины в обязательном порядке входит оценка погрешности полу­ченного результата. Без такой оценки результат опыта не имеет, как правило, практической ценности.

Поскольку причины возникновения ошибок могут быть са­мыми разными, необходимо классифицировать погрешности, возни­кающие в ходе экспериментов. Только в этом случае возможна правильная опенка погрешности полученного результата, так как от типа погрешностей зависит и способ их вычисления.

Погрешности подразделяются на случайные и систематичес­кие. Ошибки, зависящие от случайных причин и несовершенства органов чувств человека, называются случайными. Ошибки, которые зависят от постоянных причин и повторяются при всех измерениях, называются систематическими.

Иногда модуль и знак систематической погрешности известны. В этом случае легко внести в показания приборов соответствующую поправку. Однако чаще встречаются такие систематические погрешности, модуль и знак которых неизвестны. Такие погрешности называются неисключенными систематическими погрешностями и должны быть оценены. Основной вклад в систематическую погрешность дают:

а) предел основной погрешности прибора θ_осн.

б) погрешность отсчитывания θ_отч.

Предел основной погрешности прибора θ_осн., как правило, указывается в его паспорте. Эта погрешность определяется неточностью самого прибора. Кроме того, для ряда приборов указывается класс точности прибора. Класс точности показывает, сколько процентов от верхнего предела измерений составляет основная погрешность

Зная и также можно найти θ_осн.

Погрешность отсчитывания θ_отч. равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

При выполнении лабораторных работ по курсу общей физики рассчитывают два основных вида погрешности: абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как модуль разности между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины.

Т.к. при нахождении абсолютной погрешности находится модуль разности, то она будет всегда положительной. Абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и рассматриваемая величина.

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения. Относительная погрешность представляет собой отношение абсолютной погрешности ∆а к истинному значению измеряемой величины выражается обычно в процентах:

.

В большинстве случаев истинное значение величины неизвестно, поэтому при расчете погрешностей вместо него берут среднее значение измеренной величины . Кроме того, методы расчета данных погрешностей зависят от вида измерений.

Различают прямые измерения и косвенные. Прямыми называются измерения, цель которых состоит в определении измеряемой величины непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Косвенными называются измерения, при которых искомая величина определяется по результатам прямых измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью.

При прямых измерениях обработку результатов проводят в следующем порядке:

1. Вычисляют среднее арифметическое значение из n измерений:

2. Находят абсолютные погрешности отдельных измерений:

Если одно (или два) измерения резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то следует проверить, не является ли оно промахом.

3. Вычисляют квадраты погрешностей отдельных измерений .

4. Определяют среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений по формуле:

5. Задают значение надёжности .

6. По таблице 9 приложения 1 определяют коэффициент Стьюдента для заданной надёжности и числа произведённых измерений n.

7. Рассчитывают абсолютную погрешность серии измерений по формуле:

8. Оценивают относительная погрешность результата серии измерений:

9. Окончательный результат записывают в виде:

.

Кроме того, необходимо отметить, что величины и Δ а должны быть согласованы по точности:

1) погрешность Δ а округляется до двух значащих цифр (например, 0.00291≈0.0029; 0.158≈0.16; 204≈200 и т.д.);

2) среднее значение округляется до стольких же знаков после запятой, как округленная до двух значащих цифр погрешность.