Множества и последовательности комплексных чисел

Определение 2. Множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию < , называется окрестностью точки z ₀. Обозначается (z ₀).Так как (z ₀) на комплексной плоскости представляет собой круг радиусом равным ε.

ε

y

y₀

O x₀ x

Рис. 2.

Пусть задана произвольное множество комплексных чисел . Число z₀ называется предельной точкой множества , если любая окрестность точки z₀ содержит хотя бы одну точку, принадлежащую множеству .

Определение 3. Множество точек комплексной плоскости z называется ограниченным, если M >0 : .

Очевидно, что ограниченное множество целиком содержится внутри круга конечного радиуса.

Введем понятие бесконечно удаленной точки комплексной плоскости. Рассмотрим последовательность {z_n}: >0 , > >ε.

Такую последовательность называют неограниченно-возрастающей, и будем считать, что она сходится к комплексному числу , которой в свою очередь поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости.

Определение 4. Объединение комплексной плоскости и единственного бесконечно удаленного элемента, называется расширенной комплексной плоскостью. Отметим, аргумент комплексного числа не определен, так же как не определена его действительная и мнимая части.

Приведем геометрическую интерпретацию расширенной комплексной плоскости.

Рис.3.

Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке О. Обозначим через P точку сферы, диаметрально-противоположную точке О. Каждой точке плоскости z поставим в соответствие точку сферы М, которая является точкой пересечения прямой, соединяющей точку z и P, и проходит через точку сферы M. При этом всякой последовательности точек z, уходящих в бесконечно удаленную точку на плоскости, будет соответствовать последовательность точек сферы S, сходящейся к точке Р. Поэтому точке поставим в соответствие точку Р сферы S. Такое взаимно-однозначное соответствие точек расширенной комплексной плоскости и сферы S называется стереографической проекцией, а сама сфера называется сферой Римана.

Определение 5. ε-окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество точек плоскости, удовлетворяющие неравенству: >ε.

Точка z₀ множества называется изолированной точкой множества , если она не является предельной, т.е. существует окрестность, которая не содержит других точек множества

Множество предельных точек множества называется производным множеством и обозначается .

Объединение множества и его производного множества называется замыканием множества и обозначается .

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т.е. равно своему замыканию: .

Открытым множеством называется множество, дополнение которого до расширенной комплексной плоскости является замкнутым множеством, т.е. дополнение равно своему замыканию.

Точка z₀ называется внутренней точкой множества , если

она принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Таким образом, любое открытое множество состоит только из внутренних точек.

Определение 6. Множество D называют областью, если выполняются условия:

1) каждая точка множества D - внутренняя точка этого множества;

2) любые две точки множества D можно соединить кривой, лежащей целиком в D.

В данном определении второе условие является условием связанности.

Для области предельную точку принято называть граничной. Совокупность всех граничных точек образуют границу области. Множество, полученное присоединением к нему всех граничных точек, является замкнутым или замкнутой областью и обозначается .

Область D называется односвязанной, если любой замкнутый контур γ, целиком лежащий в D, ограничивает область, содержащую только точки области D.

Это требование обеспечивает отсутствие «дырок» в области D. В противном случае область называется многосвязанной.

Определение 7. Последовательностью комплексных чисел называется функция, заданная на множестве натуральных чисел N, принимающая значения на множестве комплексных чисел С.

Обозначается { z_n }= Ясно, что, если и две последовательности действительных чисел, то есть последовательность комплексных чисел.

Определение 8. Комплексное число z называется пределом последовательности { z_n }, если , такое что < , если n > .

Последовательность комплексных чисел z_n имеющая предел, называется сходящейся к пределу , при этом пишут: .

Говорят, что последовательность { z_n } сходится к бесконечно удаленной точке, если >0 : > М.

Имеют место следующие теоремы о пределах последовательностей комплексных чисел.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности). Для того, чтобы последовательность комплексных чисел сходилась к точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела: , .

□ Необходимость. Пусть . Это означает, что >0 : < . Учитывая, что , последнее неравенство можно записать: = <ε. Откуда <ε, <ε. Последние два неравенства означают, что ,

Достаточность. Пусть сходятся числовые последовательности . Это означает, что >0 > < , и для последовательности >0 > < Обозначим через ,тогда из неравенства треугольника: < Откуда следует, что комплексная последовательность сходится к комплексному числу . ■

Замечание. Если последовательность задана в виде: , то для сходимости необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательности для модулей и аргументов: .

Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

□ Из ограниченности последовательности следует ограниченность последовательностей . Рассмотрим последовательность .Раз она ограниченная, то для этой действительной ограниченной последовательности по теореме Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность ,предел которой обозначим через х. Из ограниченной подпоследовательности по той же теореме можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Таким образом мы выделим сходящие подпоследовательности, и по первой теореме комплексная подпоследовательность будет сходиться к . ■

Теорема 3. (Критерий Коши 1789-1857). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда

>0 >0 <ε.

□ Необходимость. Так как последовательность сходится, то это означает, что сходятся последовательности действительных чисел и

для них выполняется критерий Коши сходимости действительных последовательностей: >0 > 0, >0 < и >0 >0, >0: < .

Выбирая в качестве , в силу неравенства треугольника получим: < + = .

Достаточность. Из неравенства < следует: < < и < < . Это означает, что последовательности сходятся, а по теореме 1 сходится и комплексная последовательность . ■

Пример 1. Вычислить предел: .

Решение. По замечанию к теореме 1, так как модуль и аргумент основания равны, соответственно:

,

то можно записать:

;

Следовательно: = .

Сравнивая это выражение с пределом

Видим, что символ действительно можно рассматривать в качестве определения показательной функции с чисто мнимым показателем iy.