БИЛЕТ #19 Миноры матрицы: применение к исследованию зависимости строк и столбцов: теорема о ранге матрицы. Условия вырожденности матриц

Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Система строк называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке.
Линейной комбинацией (ЛК) строк матрицы А называется выражение +…+
ЛК называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю одновременно.

Пример:
Система строк , линейно зависима, так как ЛК этих строк равна нулевой строке.

Вырожденной матрицей называется квадратная матрица А, если её определитель (Δ) равен нулю. В противном случае матрица А называется невырожденной.
Эквивалентные условия:
- Δ равен нулю
- Строки или столбцы матрицы линейно зависимы.
- Квадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор x, такой, что Ax = 0. Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.

БИЛЕТ #20
Ранг матрицы: свойства, применение к системам линейных уравнений: теорема Кронекера – Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Задание. При каких значениях система будет совместной?

Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы (слева от вертикальной черты находится матрица системы ):

и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от первой строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:

Третью строку складываем с первой:

и меняем первую и вторую строки матрицы местами

Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что , . Таким образом, при система совместна, а при - несовместна.

Свойства ранга матрицы:
1) Ранг матрицы, полученной трансплонированием, равен рагу исходной марицы
2) Ранг матрицы остается неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую стоку