Многочлен над полем. Степень, коэффициенты многочлена. Равные многочлены. Сумма, произведение многочленов

Многочленом (или полиномом) степени n над полем P; от переменной x; называется выражение вида f(x) = f₀ + f₁x + f₂x²+ …+ f_nxⁿ

Два многочлена f (x) и g(x) (над одним и тем же полем P и от одной и той же переменной x) называются равными (это обозначается f (x) = g(x) или короче f = g), если

1) их степени одинаковы;

2) все соответствующие коэффициенты равны

Деление с остатком. Остаток, неполное частное, их степени.

Пусть P — поле. f (x), g (x) — два многочлена с коэффициентами из P [f (x) 6 = 0], тогда существуют (однозначно определенные) многочлены q(x), h(x) из P [x], такие, что g(x) = f (x)q(x) + h(x).

Наибольший общий делитель.

Пусть K — целостное кольцо; a,b ∈ K.

Пусть элемент d является общим делителем элементов a и b, таким, что для него существует линейное представление (с коэффициентами из K) через данные элементы a и b:

d = au + bv; u, v ∈ K

Тогда d ∈ НОД(a,b):

Значения многочлена и корни. Теорема Безу.

Корнем многочлена f (x) ∈ P [x] называется корень соответствующей полиномиальной функции

f: P -> P; т. е. такой элемент c ∈ P, что значение f(c) = 0:

1. Остаток от деления многочлена

f (x) положительной степени n над полем P на многочлен первой степени (двучлен) x - c, где c ∈ P, равен значению f (c) многочлена f (x) в точке c.

2. Элемент c является корнем многочлена f (x) тогда и только тогда, когда двучлен x - c делит данный многочлен: x - c | f (x)