Доказательство. Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать сходимость По п

Убедимся, что Удобнее всего для этого рассмотреть ряд и доказать сходимость По признаку Даламбера получаем:

ряд сходится, и в таком случае предел общего члена равен нулю.

1) Разложение элементарных функций в ряды Тейлора-Маклорена.

Последнее разложение получено почленным дифференцированием предыдущего разложения.

Вопрос

необходимое и достаточное условия разложимости функции в ряд тейлора

Рассмотрим задачу, обратную поставленной в разд. 30.4. Пусть функция бесконечно дифференцируема в т. Составим для

нее ряд Тейлора. Его сумма не всегда будет совпадать с функцией Например, функция бесконечно дифференцируема при х = 0, причем поэтому для нее ряд

Маклорена Его сумма при х 0. Выясним, при каких условиях

О: Многочленом Тейлора степени п называется частичная сумма

Остаточным членом ряда Тейлора называется

(30.8)

Т: Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в т. функция являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора (30.6), необходимо и достаточно, чтобы

Используя определение сходящегося ряда и выражение (30.8), имеем следующую цепочку: — сумма (30.6)

Приведем запись остаточного члена в форме Лагранжа [4. С. 168]:

(30.9) где находится между и х.

Вопрос

19.4.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.4.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z ₁, z ₂, z ₃, …, z_n, ….Действительную часть числа z_n будем обозначать a_n, мнимую - b_n (т.е. z_n = a_n + i b_n, n = 1, 2, 3, …).
Числовой ряд - запись вида .
Частичные суммы ряда: S ₁ = z ₁, S ₂ = z ₁ + z ₂, S ₃ = z ₁ + z ₂ + z ₃, S ₄ = z ₁ + z ₂ + z ₃ + z ₄, …, S_n = z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n, …
Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при n → ∞, являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут S = z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n + … или S = .
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм:
S_n = z ₁ + z ₂ + z ₃ + … + z_n = (a ₁ + i b ₁) + (a ₂ + i b ₂) + (a ₃ + i b ₃) + … + (a_n + i b_n) = (a ₁ + a ₂ + a ₃ +…+ a_n) +
+ i (b ₁ + b ₂ + b ₃ +... + b_n) = σ _n + i τ _n, где символами σ _n и τ _n обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями. На этом утверждении основан один из способов исследования сходимости рядов с комплексными членами.

Абсолютная сходимость.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, легко доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . (| a_n | ≤ | z_n |, | b_n | ≤ | z_n |, поэтому ряды, образованные действительной и мнимой частями ряда , сходятся абсолютно). Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки (от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:
Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.
Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Если ряд сходится, то сумма его остатка после n -го члена стремится к нулю при n → ∞.
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна S_A ± S_B.
Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим суммам S_А и S_B, то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна S_А · S_А.
19.4.2. Степенные комплексные ряды.
Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида , где a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z ₀ - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку z ₀. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.
Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z ₁ ≠ z ₀, то он абсолютно сходится в любой точке круга | z - z ₀| < | z ₁ - z ₀|;
Если этот ряд расходится в точке z ₂, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству | z - z ₀| > | z ₂ - z ₀| (т.е. находящейся дальше от точки z ₀, чем z ₂).
Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.
Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке z ₀, и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности | z - z ₀| = R радиуса R с центром в точке z ₀ - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:
1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности | z - z ₀| = R ряд сходится абсолютно.
2. Ряд расходится, но его общий член | a _n |· R ⁿ → 0 при n → ∞. В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.
3. Ряд расходится, и его общий член | a _n |· R ⁿ не стремится к нулю при n → ∞. В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Вопрос

Тригонометрический ряд. Выражение коэффициентов тригонометрического ряда через его сумму. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x). Теорема Дирихле о достаточных условиях разложимости функции в ряд Фурье.

· Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

· Действительные числа a_i, b_i называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sin nx и cos nx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

· Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

· Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

· Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье сформулированы в теореме Дирихле.

Т е о р е м а. Если в интервале [–l, l] функция f (x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S (x) во всех точках указанного интервала.

При этом:

а) в точках непрерывности функции f (x) ряд сходится к самой функции: S (x) = f (x);

b) в каждой точке разрыва xk функции f(x) ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции слева и справа:

;

c) в обеих граничных точках интервала [–l, l] ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала:

.

Часто периодическая функция f (z) задается на интервале [ – , ]. В этом случае ряд Фурье для f (z) записывается в несколько ином виде:

, (57)

где

(m = 0, 1, 2, …); (58)

(m = 1, 2, 3 …). (59)

К этому ряду также применима теорема Дирихле и полученные ниже выводы.

Вопрос

Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье.

· Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

· Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами