Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Ломаная Эйлера. Понятие о методе Рунге-Кутте

Метод Эйлера

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где yi+1 это искомое значение функции в точке xi+1.

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить yi+1, если известно yi в точке хi:

(6.4)

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (6.3) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения (6.2) следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=xi - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=xi.

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

,

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точкеx=xi.

Метод ломаных Эйлера

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

у ‘ = f (x; y)

с начальным условием у (х ₀) = у ₀.

Выберем достаточно малый шаг h и построим с помощью начального условия последовательность точек х ₀; х ₀ + h; x ₀ + 2 h; …; x ₀ + nh, после чего искомая интегральная кривая (т.е. решение данного дифференциального уравнения – см. статью «Дифференциальное уравнение») заменяется ломаной (ломаная Эйлера), звенья которой – отрезки прямых линий, определённые на отрезках [ x_i; x_{i +1}], а ординаты концов определяются по формулам

y_{i +1} = y_i + hf (x_i; y_i), i = 0; 1; …; n.

Если функция f (x; y) непрерывна, то на фиксированном отрезке [ x ₀; x ₀ + H ] последовательность ломаных Эйлера при n → +∞ равномерно стремится к искомой интегральной кривой у = у (х).

Если функция f (x; y) дифференцируема, погрешность метода ломаных Эйлера достаточно мала.

Метод предложен Л. Эйлером в 1768 году.

Метод Рунге-Кутта

Вновь рассмотрим дифференциальное уравнение

(1)

с начальным условием

Классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка описывается следующей системой пяти равенств:

(5)

где

Строго говоря, существует не один, а группа методов Рунге-Кутта, отличающихся друг от друга порядком, т.е. количеством параметров . В данном случае мы имеем метод 4-го порядка, который является одним из наиболее применяемых на практике, так как обеспечивает высокую точность и в то же время отличается сравнительной простотой. Поэтому в большинстве случаев он упоминается в литературе просто как «метод Рунге-Кутта» без указания его порядка.

Вопрос

Линейный дифференциальные уравнение высших порядков (однородные, неоднородные). Теорема о линейной комбинации решений линейного однородного дифференциального уравнение. Теорема о наложении решений линейного неоднородного дифференциального уравнения

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n -1)} + a ₂ y ^{(n -2)}+ ^... + a_n y = f (x), (1)

где f (x) и коэффициенты a ₁, a ₂,..., a_n непрерывны на отрезке [ a,b ]. Если все a_i – постоянные числа, то уравнение называется линейным ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение называется неоднородным; если f (x) = 0, уравнение называют однородным.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x).

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20):

yон(x) = yоо(x) + yчн(x) = (C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x)) + yчн(x).

Вопрос

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема об условиях, при которых экспонента е является решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянным коэфицентами. Характеристическое уравнение.

Рассмотрим на [ a; b ] линейное однородное дифференциальное уравнение

y ⁽ⁿ⁾ + a_{n -1}(x) y ^{(n - 1)} +... + a ₁(x) y ' + a ₀(x) y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [ a; b ] называется функция y = Φ(x, C ₁,..., C_n), зависящая от n произвольных постоянных C ₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C ₁,..., C_n функция y = Φ(x, C ₁,..., C_n) является решением уравнения на [ a; b ];

− какова бы ни была начальная точка (x ₀, y ₀, y _1,0,..., y_{n − 1,0}), x ₀∈ [ a; b ], существуют такие значения C ₁ = C ₁₀,..., C_n = C_{n 0}, что функция y = Φ(x, C ₁₀,..., C_{n 0}) удовлетворяет начальным условиям y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y _1,0,..., y ^{(n − 1)} (x ₀) = y_{n − 1,0}.

Справедливо следующее утверждение (теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [ a; b ], а функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y (x, C ₁,..., C_n) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) +... + C_n y_n (x),

где C ₁,..., C_n — произвольные постоянные.

Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c постоянными коэффициентами

р ₀ у ⁽ⁿ⁾ + p ₁ y ^{(n -1)} + … + p_ny = 0,

то алгебраическое уравнение

p ₀λ ⁿ + p ₁λ ^{n -1} + … + p_n = 0

называется его характеристическим уравнением.

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

1.6. Дифференцирование изображения. Если , то . Используя данную формулу, найдем изображение степенной функции . Известно, что . Применяя формулу дифференцирования изображения при , получим или . Аналогично или . Далее, .

Откуда или . При любом получаем .

Применяя теорему смещения к этому изображению, получим .

На основании теоремы дифференцирования изображения можно получить изображения функций и ,

,

.

Вопрос

Вопрос

22.1. Основные определения.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

22.2. Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

3) Рассмотрим два ряда и . ^ Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равнаS + s.

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

^ О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

22.3. Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

Доказательство. (необходимость)

Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер ^ Nтакой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член u_n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)ⁿ⁺¹+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любом n.

22.4. Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Лекция 23. Сходимость рядов.

23.1. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда и при u_n, v_n ³ 0.

Теорема. Если u_n £ v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через S_n и s_n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n s_n M, где М – некоторое число. Но т.к.< u_n £ v_n, то S_n £ s_n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.

23.2. Признак Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд расходится.

23.3. Предельный признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Вопрос