Определите понятие несобственного интеграла I рода, сформулируйте его свойства. Запишите формулы Ньютона-Лейбница и объясните процесс вычисления по ней несобственных интегралов

Пусть функция y=f(x) непрерывна при любом x≥0. Рассмотрим интеграл с неопределённым верхним пределом “I(b) = ^b∫_a f(x)dx”

Предположим, что при b→+∞ функция имеет конечный предел то этот предел называеться сходящийся несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,+∞) и обозначается как: ^+∞∫­_a f(x)dx = lim_b→∞ ^b∫_a f(x) dx.

Если предел не существует или = бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящемся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева – отрезком прямой x=a, снизу осью Ох.

Эта площадь является конечной, в случае расходящейся – бесконечной.

^+∞∫­_a f(x)dx = lim_b→∞ ^b∫_a f(x) dx = lim_b→∞ (f(b) – f(a)) = f(+∞) – f(a), где f(+∞)=lim_b→+∞ f(b).

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

^b∫­_-∞ f(x)dx = lim_b→-∞ ^b∫_a f(x) dx.

И несобственный интеграл с общим бесконечным пределом ^+∞∫_-∞f(x)dx=^c∫_-∞f(x)dx+^+∞∫_c f(x)dx

Где с – любая точка из интеграла (-∞, +∞).

Если три x≥a выполнены неравенства 0≤ⱷ≤f(x) и ^+∞∫_c f(x)dx сходиться, то сходится и ^+∞∫_c ⱷ (x)dx, причём ^+∞∫_c ⱷ (x)dx ≤ ^+∞∫_c f(x)dx если ^+∞∫_c ⱷ (x)dx расходиться, то расходиться и ^+∞∫_c f(x)dx.
Если в промежутке (а, +∞) функция f(x) изменяет знак и ^+∞∫_c |f(x)|dx сходиться, то сходиться также и ^+∞∫_c f(x)dx

БИЛЕТ

Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решения. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Сформулировать задачу Коши для ДУ высших порядков.

Дифференциальные уравнения – уравнения, которые связывают между собой независимую переменную Х и искомую функцию Y и её производные различных порядков по переменной Х.

Порядок дифф.ур.-порядок старшей производной в данном ур. (y⁴-y³-e^x=0 – 4 порядок).

Общее решение дифф.ур. – y=µ (X,C₁,C₂,…,C_N), которое содержит столько произвольных постоянных каков порядок ур.

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значений произвольных постоянных – частное решение. Для нахождения частного решения требуется задать дополнительные условия – условия Коши.

Теорема о существовании и единственности решения ду: Пусть функция f (x, y, p ₁, p ₂, …, p_{n -1}) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D и пусть точка (x ₀, y ₀, y ₁, y ₂, …, y_{n -1}) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x ₀ существует решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение единственно.

Коши для ДУ высших порядков: уравнение вида F (x, y, y ', y '',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0,
где F - известная функция (n +2) переменных, определенная в области D, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y (x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

БИЛЕТ

Дать определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения. Сформулировать задачу Коши для ДУ-1. Записать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Объясните способ его решения.

дифференциальнным уравнения 1-го порядка и формула..так называется уравнение которое связывают между собой независимую переменную Х, и искомую функцию У, и ее производные различных порядков по переменной Х.
F(x,y,y'...y(ст.n))=0 -неявная ф-ия
y(ст.n))=f(x,y,y'...y(ст.n-1))) - нормальная ф-ия
2.1.общего решения ДУ-1 – наз. такое уравнение: y=ф(x,c1,c2...c(ст.n)) которое содержит столько производных постоянных каков порядок самого уравнения.
2.2.Всякое реш.д.у. которое получ.из общего реш.при конкретных знач.произвольных постоянных назыв.частными.
2.3.Сформулируйте задачу Коши для ДУ-1:
y(x0)=y0
y'(x0)=y'0
y(ст.n-1)(x0)=y0(ст.n-1)
Задачу Коши для ДУ-1 – для нахождения частного решения необходимо задание дополнительных условий.

БИЛЕТ