Методические рекомендации по теме «Обобщение и повторение курса стереометрии»

1. Сделайте чертеж, отметьте на нем по возможности исходные данные, используя принятые обозначения.

2. Определите, какие темы, теоремы, формулы могут быть использованы в решении задачи.

3. Устно проанализируйте схему решения задачи, последовательность изложения, какая информация действительно понадобится для решения.

4. Определите, существуют ли другие способы решения, выберите наиболее рациональные.

5. Запишите решение задачи.

Задания к уроку:

1. Из точки, взятой вне плоскости, проведены к плоскости две наклонные, каждая под углом к плоскости. Проекции этих наклонных образуют между собой угол . Найдите расстояние от точки до плоскости, если расстояние между основаниями наклонных равно 60 см.

Ответ: 20 см.

2. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания касается всех трех боковых граней в точках пересечения их медиан. Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен r, а величина плоского угла при вершине пирамиды равна .

Ответ: .

3. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом , причем длина высоты призмы больше длины наибольшей диагонали основания. Под каким углом к плоскости основания следует провести секущую плоскость, чтобы в сечении призмы получился квадрат?

Ответ: = arссos tg .

4. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Найдите радиус сферы, касающейся оси конуса, его основания и боковой поверхности.

Ответ: .

5. Ребро правильного тетраэдра равно a. Чему равен радиус полусферы, касающейся боковых граней тетраэдра, центр которой лежит на основании тетраэдра?

Ответ: .

6. Расстояния от вершин A, B, Cпараллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость , равны соответственно 14, 11 и 4 см. Найдите расстояние от вершины D до

плоскости .

Ответ: 7 см.

7. В треугольнике ABC сторона BC= a и известны углы BиC. Определить объем тела, полученного при вращении треугольника около данной стороны.

Ответ: .

8. Основание прямого параллелепипеда ромб, площадь которого равна 3 см , а площади диагональных сечений 3 см и 2 см . Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 3 см .

9. Два равнобедренных треугольника ABC и ACD имеют общее основание AC, двугранный угол при AC равен , а угол, образованный стороной BC с плоскостью

ACD, равен . Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 6 см.

Ответ: 12 см .

10. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный .

Ответ: 10 см .

11. В конус вписан шар. Найдите объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом .

Ответ: .

12. Наклонная образует угол с плоскостью. Через основание наклонной проведена в плоскости прямая род углом к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной.

Ответ: .

13. В кону вписан шар объемом см . Найдите объем конуса, если его высота 3 см.

Ответ: 3 см .

14. Векторы a и b образуют угол , а вектор c им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора + b + c если a, b, c единичные векторы.

Ответ: 2.

15. Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара 5 см, а ребро основания призмы 6 см.

Ответ: 2 см.

16. Треугольник ABC – проекция треугольника MNP на плоскость , точка D лежит на отрезке AB, причем точки A, B, C, D проекции точек M, N, P и K соответственно. Найдите

MN, если AD = 4 см, BD = 6 см, MK = 6 см.

Ответ: 15см.

Задания для СРО:

1. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен . Площадь боковой поверхности пирамиды равна 192 см . Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды.

Ответ: 8 см.

2. В наклонной треугольной призме одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания и представляет собой ромб, диагонали которого равны 3 и 4 см. Основанием призмы служит равносторонний треугольник. Найти объем призмы.

Ответ: см .

3. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (0; 2; 1) и

_

b = (1; 0; 2).

4. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой стороной и высотой, опущенной на основание, равен . Во сколько раз объем пирамиды меньше объема описанного вокруг него шара?

Ответ: .

5. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром, равным a.

Ответ: .

6. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого . Найдите объем цилиндра, вписанного в этот параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V.

Ответ: .

7. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, осевое сечение которого является квадратом, а площадь боковой поверхности равна S. Ответ: 1,5 S.

8. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность.

Ответ: .

9. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.

Ответ: см .

10. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5 см .

11. Прямоугольная трапеция MKPN (MN || KP и N = ) вращается вокруг оси, содержащей сторону KP. Найдите объем фигуры вращения, если KP = 2 см, диагональ

MP = 6 см и MPK = .

Ответ: 72 см .

Итоговый контроль:

1) В руде содержится 45% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 6% примесей. Сколько получится металла из 47 тонн руды?

Ответ:

А) 27,5;

В) 39;

С) 18,33.

2) Работая вместе, две бригады затратят на выполнение производственного задания на 3 часа меньше, чем требуется одной из них, и на 5 часов 20 минут меньше, чем необходимо другой. За какое время каждая бригада может выполнить задание?

Ответ:

А) 7 часов, 9 часов 20 минут;

В) 8 часов, 8 часов 20 минут;

С) 8 часов 20 минут, 6 часов.

3) Решить неравенство: x sinx + 1≥ x + sinx.

Ответ:

А) ;

В) ;

С) .

3) Решить уравнение: + = 3 – х.

Ответ:

А) х = 1

В) х (-1; + );

С) х (- 3;1).

4) Решить уравнение: + = 0.

Ответ:

А) 1;

В) 2; 3;

С) 3; 2.

5) Решить уравнение: = .

Ответ:

А) х = 2; 8/3;

В) х (1,2; + );

С) х (2; ).

6) Решить неравенство: < 2.

Ответ:

А) х (;1);

В) х (1,2; + );

С) х = 0.

7) Решить неравенство: + ≥ 4.

Ответ:

А) нет решения;

В) х ;

С) х (- 3;-2).

8) Вычислите 50% от числа - .

Ответ:

А) 1;

В) -1;

С) 2.

9) Упростите выражение

(1 + ) и найдите его значение при x = 3 ; y = 0,75; n = 2.

Ответ:

А) 64;

В) -64;

С) .

10). Решите возвратное уравнение: х - 2 х - х - 2 х + 1= 0.

Ответ:

А) ; ;

В) 4;

С) + 1; - 1; + 2; - 2.

11) Решите уравнение: (х+ 3) + (х+ 5) = 16.

Ответ:

А) -5; -3;

В) 1;-1;

С) + 1; - 1; + 2; - 2.

12) Решите однородное уравнение: 3(х - x + 1) - 5(x + 1)(х - x + 1) - 2(x + 1) = 0.

Ответ:

А) ; ;

В) 1;-1;

С) ; .

13) Решите систему уравнений: х + y = 7;

х y = - 8.

Ответ:

А) (-1; 2); (2; -1);

В) х = 2; у = -1;

С) х = -1, у = 2.

14) Решите систему уравнений: xy = 6;

xz = 2;

yz = 3, где x > 0, y > 0, z > 0.

Ответ:

А) (2; 3; 1);

В) (1; 2; 3);

С) (3; 2; 1).

15) Решите конструкцию неравенств: совокупность системы 1-го и 2-го неравенств с третьим:

х (х -2) (х + 1) (2 х – 3) ≤ 0;

(2 - 3 х) (х + 1) > 0;

(х + 1)(3 х – 4)(2 – х) < 0.

Ответ:

А) х (-1; ) (2; + );

В) х (0; 1);

С) х (- 3;12).

16) Решить неравенство: 4 ≥ .

Ответ:

А) х ;

В) х ;

С) х .

17) Вычислите: 81 + 27 + 3 .

Ответ:

А) 890;

В) 3;

С) 72.

18) Решите уравнение: 2 - 2* 2 = 1.

Ответ:

А) 1;

В) 1; 0;

С) нет корней.

19) Решите уравнение: 3 = 5 .

Ответ:

А) x = log 5 + ; x = log 5 - ;

В) х = log 5;

С) нет корней.

20) Решите систему уравнений: 5 = 125;

13 = 1.

Ответ:

А) (0;0); (-6;6);

В) (2; 1);

С) нет корней.

21) Решите систему уравнений: 3 - 2 = 725;

3*2 + 3 = 87.

Ответ:

А) (1; 2);

В) нет корней;

С) (3;-3).

22) Найдите область определения функции: y = arcsin .

Ответ:

А) х = -1;1;

В) х ;

С) х (- 3;-2).

23) Вычислите: arcsin(sin ) – arctg(tg ) – arcos(cos ) + arcctg(ctg(- )).

Ответ:

А) ;

В) 3;

С) .

24) Решите уравнение: cos - sin = sin 2x.

Ответ:

А) х = + n, х =(-1) + k, n, k Z;

В) х = + 2 n, n Z;

С) х = - + n, n Z.

25) Решить неравенство: 2( sin 2x + cos 2x) < 1.

Ответ:

А) х (- + k; k), k Z;

В) х ( + 2 n; + 2 n), n Z;

С) х (- + n; + n), n Z.

26) Найдите координаты точек касания, в которых касательная к графику функции

f(x) = имеет угловой коэффициент, равный 4.

Ответ:

А) (0; -2); (-2; 6);

В) (2; 1);

С) (0;0); (-6;6).

27) В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5 соответственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла.

Ответ:

А) ; ;

В) 7: 4;

С) .

28) В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону ромба.

Ответ:

А) ;

В) 5;

С) - 1.

29) Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен . Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол . Найдите высоту параллелепипеда, если его объем равен V.

Ответ:

А) ;

В) ;

С) .

30) На общем основании построены два конуса один внутри другого так, что их вершины находятся на одной прямой на расстоянии 12 см одна от другой. Определите поверхность

тела, ограниченного коническими поверхностями этих конусов, если угол при вершине осевого сечения одного конуса равен , а другого .

Ответ:

А) ;

В) 75 ();

С) 21 ( - 1).