Возрастание, убывание функций. Экстремум

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство ().

Если функция дифференцируема на интервале и () при всех , то функция возрастает (убывает) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется критической точкой функции, если в этой точке или не существует. Критические точки функции разбивают её область определения на интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство (), а число - минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то или не существует.

Первое достаточное условие экстремума. Пустьфункция дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе слева направо через точку : 1) меняет знак с «+» на «», то - точка максимума; 2) меняет знак с знак с «» на «+», то - точка минимума; 3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Пустьфункция дважды дифференцируема в точке , в которой , . Тогда: 1) если , то - точка максимума; 2) если , то - точка минимума.

В задачах 5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:

5.221 5.222

5.223 . 5.224

5.225 5.226 .

5.227 . 5.228

5.229 5.230 .

5.231 5.232 .

5.233 . 5.234

В задачах 5.235-5.248 для указанных функций найти экстремумы:

5.235 5.236

5.237 5.238 .

5.239 . 5.240 .

5.241 5.242

5.243 5.244

5.245 5.246

5.247

5.248