Рівняння руху рідини у трубопроводі

Візьмемо проекцію рівняння Нав’є-Стокса (2.18), записану у циліндричній системі координат, на вісь ох:

Зробимо оцінку порядку складових, які входять у це рівняння.

Якщо складові напруги тертя і одного порядку, а саме t₀, тоді порядок і відповідно і , а оскільки довжина трубопроводу l значно більша r ₀, тому . Порядок , тоді з рівняння нерозривності виходить, що порядок , а , тому , а рівняння руху матиме вигляд:

(7.2)

Перейдемо у рівнянні (7.2) до середньої швидкості так, як це зробили у рівнянні нерозривності, тоді будемо мати:

, (7.3)

де t₀ – напруга тертя на стінки трубопроводу.

При горизонтальному розташуванні труби і відсутності локального та конвективного прискорення рівняння руху у циліндричній системі координат має вигляд:

, (7.4)

де V_х – швидкість рідини, яка направлена вздовж осі симетрії труби.

Рівняння (7.4) інтегруємо:

. (7.5)

На межах потоку (біля стінок) за умовами прилипання при і з умов обмеження швидкості по осі труби . Тоді .

Формула (7.5) матиме вигляд:

(7.6)

Профіль швидкості має вигляд параболи (рис. 7.2). При цьому профілі середня швидкість розраховується так (рис. 7.3):

або (7.7)