Однородные дифференциальные уравнения

(дифференциальные уравнения с однородными функциями)

Функция называется однородной n -го измерения, если , где t – параметр.

Например, для функции находим

.

Следовательно, эта функция второго измерения (n = 2).

Покажем, что частное двух однородных функций и одного и тоже измерения есть однородная функция нулевого измерения. Действительно,

.

Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида

,

где и - однородные функции одного измерения.

Данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение

.

Обозначим . Тогда уравнение примет имеет вид

,

где - однородная функция нулевого измерения, т. е.

.

Если принять параметр , то .

Уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

или ,

где u = u (x)- функция от x.

Найдем производную и подставим ее в уравнение, получим

.

Разделим переменные и проинтегрируем

Þ .

Решение уравнения сведено к нахождению интегралов. В результате интегрирования будет получен общий интеграл . Для нахождения общего интеграла исходного дифференциального уравнения необходимо сделать обратную замену переменной , в результате которой общий интеграл будет иметь вид

.

Пример 7.10. Решить уравнение ; при х = 1 y = 1.

Используем подстановку . Находим и подставляем в уравнение. Получаем

.

Сгруппируем отдельно слагаемые с и

.

Разделим переменные и проинтегрируем

.

Выполним обратную подстановку , запишем общий интеграл

.

Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее начальным условиям .

.

Запишем частное решение

.

Пример 7.11. Решить уравнение ; при х = 1 .

Используем подстановку . Найдем . Подставим y и в уравнение, получим

.

В этом уравнении сгруппируем в одном слагаемом , а в другом все остальные слагаемые, получим

.

Учитываем, что , имеем

.

Разделим переменные и проинтегрируем

.

Получаем

Þ .

Выполняем обратную замену переменной , получаем общий интеграл

.

Находим значение произвольной постоянной.

При получим Þ .

Записываем частное решение

.