Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Данные уравнения являются наиболее простыми из дифференциальных уравнений. Однако решение многих типов дифференциальных уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
В общем случае данные уравнения можно записать в виде
или
,
где - непрерывные функции.
Для нахождения общего решения уравнения переменные x и y в уравнении с помощью алгебраических действий разделяют так, чтобы в каждом слагаемом уравнения содержалась только одна переменная и ее дифференциал, либо x и dx, либо y и dy. Дифференциалы dx и dy. должны быть всегда в числителях дробей.
Разделяем переменные. Уравнение вида
делим на , получаем Þ
.
После того, как переменные разделены, решение уравнения сводится к интегрированию. Записываем
.
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к нахождению интегралов.
Если уравнение имеет вид , то переменные разделяем следующим образом
.
Если решение дифференциального уравнения сведено к нахождению интегралов, то считается, что оно в принципе решено. Поэтому часто говорят не решить, а проинтегрировать дифференциальное уравнение.
Пример 7.7. Для дифференциального уравнения найти общее решение и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: при . Построить несколько интегральных кривых.
Рис. 82 | Находим Þ Þ . Общий интеграл уравнения можно записать в виде , где . Интегральными кривыми являются окружности радиуса С (рис. 82) |
Найдем частное решение. Подставим значения и в общий интеграл, получим . Частный интеграл .
Пример 7.8. Найти частное решение дифференциального уравнения , если при х = 0 .
Разделим переменные и проинтегрируем
Þ
Þ Þ
, где .
Тогда .
Произвольная постоянная в решениях дифференциальных уравнений может принимать любые значения . Данный интервал также является множеством значений логарифма . Поэтому при записи общего решения для более удобного вида часто произвольную постоянную представляют в виде логарифма, а затем освобождаются от логарифмов (потенцируют).
Отметим также следующее. В тех случаях, когда при интегрировании дифференциальных уравнений появляются логарифмы, обычно модули под логарифмами не ставят в расчете на то, что при нахождении частных решений выражения под логарифмами будут положительными за счет выбора начальных условий.
Найдем значение произвольной постоянной при . Получаем , отсюда С = 3. Частное решение .
Пример 7.9. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях х = 1 .
Разделим переменные и проинтегрируем
.
Находим .
Получаем , .
Общее решение .
Подставим начальные условия в общее решение, найдем значение произвольной постоянной .
Частное решение .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 211 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!