Вопрос 32. Классификация вторых производных

Классификация вторых производных.

Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.

Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом

где -- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY и PZ. Очевидно, что составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами

Первые производные потенциала являются составляющими силы тяжести по координатным осям х, у и z, поскольку потенциал W должен удовлетворять условиям. Напишем шесть вторых производных потенциала W:

Возьмем начало прямоугольных координат в точке М земной поверхности. Совместим направление оси z с направлением силы тяжести g, а оси х и у расположим в.плоскости горизонта, направив их соответственно на север и восток. В таком случае

можно представить сл.образом:

Эта производная показывает, как изменяется сила тяжести в направлении вертикали, и потому называется в е р т и к а л ь ным г р а д и е н т о м силы т я ж е с т и. Представим аналогичным образом производные

Отсюда видно, что эти производные характеризуют изменение силы тяжести в горизонтальной плоскости: первая — в направлении меридиана, а вторая — в направлении первого вертикала.

Они получили название г о р и з о н т а л ь н ы х г р а д и е н т о в силы т я ж е с т и. Знание горизонтальных градиентов силы тяжести дает возможность определить п о л н ы й горизо н т а л ь н ы й г р а д и е н т, под которым понимается геометрическая сумма векторов и т. е. вектор, указывающий направление, в котором сила тяжести возрастает (или убывает) в плоскости горизонта быстрее всего

Вопрос 33. Изменение силы тяжести во времени.

Подразделяются на приливные(Луна и Солнца) и неприливные (вековые, период, непериод)

δg=K_л,с(3cos²Z-1) cosZ=sinφ*sinδ+cosφ*cosδ*cost φ-широта δ-склонения светила t-часовой угол.

Сила тяжести на уровенной поверхности изменяется. Наибольшего значения сила тяжести достигает на полюсе — около983 гал на уровне моря. На экваторе сила тяжести на уровне моря равна 978 гал. Увеличение силы тяжести на полюсе объясняется двумя причинами: во-первых, на полюсе центробежная сила равна нулю, во-вторых, точка на полюсе находится ближе к центру масс Земли из-за сжатия уровенной поверхности. Центробежная сила, напротив, увеличивается от полюса, где она равна нулю, к экватору, где она достигает значения 3,4 гал.

Сила тяжести в любой точке Земли изменяется в зависимости от положения небесных тел, мгновенной оси вращения в теле Земли, от изменения скорости вращения Земли, а также перемещения масс Земли и деформации ее поверхности. Различают вековые, периодические и непериодические изменения силы тяжести и других элементов гравитационного поля. Причиной вековых изменений силы тяжести могут быть изменение гравитационной постоянной и замедление вращения Земли. Обе эти причины вызывают очень небольшие изменения силы тяжести. Например, вследствие изменения скорости вращения Земли сила тяжести может измениться не более чем на2 - 1 0^-15 мгал/столетие. Поэтому (вековые изменения силы тяжести экспериментально не обнаружены. ΔН=100м, измен пл-ти=0,01г/см³, вызовет повыш силы тяжести на 40 микроГал. Непериодические изменения гравитационного поля вызываются естественными причинами (вулканическая деятельность, землетрясения, перемещения вещества мантии и т.п.) и деятельностью человека (создание крупных водохранилищ, горные выработки). По величине эти изменения являются наибольшим и могут достигать миллигалов. Однако непериодические изменения всегда носят локальный характер и вызывают в целом для Земли незначительные деформации гравитационного поля. Среди периодических изменений силы тяжести главными являются приливные изменения, вызванные влиянием Луны и Солнца. Кроме того, периодическими являются изменения, вызванные собственными колебаниями Земли. Колебания уклонения отвеса (наклоны уровенной поверхности относительно физической поверхности Земли) вызывают изменение превышений, полученных из геометрического нивелирования. Приливные поправки нивелирования невелики. Их нужно учитывать только при обработке результатов высокоточного нивелирования.

Вопрос 34. Уклонение отвеса. Виды. Способы вычисления

Абсолютное уклонения отвеса – это угол между отвесной линией и нормалью к общему земному эллипсоиду.

Относительное уклонение отвеса – угол между отвесной линией и нормалью к референц-эллипсоида

Этот угол, как и высота квазигеоида ξ, обусловлен отличием гравитационного поля Земли от нормального и может рассматриваться в качестве величины, характеризующей форму нашей планеты. При проектировании измерений, проводимых на физической поверхности Земли, необходимо знать направление нормали п к принятому эллипсоиду. Уклонение отвесной линии от направления этой нормали называется астрономо-геодезическим уклонением отвеса (угол (n, g)

Направления отвесной линии можно определить астрономической Широтой и долготой. А геодезические широты и долготы определяются положением нормалью к референц эллипсоиду, следовательно уклонение отвесной линии получают как разность астрономических и геодезических координат.

Существует три способа определения уклонение отвесной линии: Астрономо-геодезический, Гравиметрический, Астрономо-гравиметрический.

Вопрос 36. Неоднородности гравит. поля.

Монтаж с погрешностью не более 25м, с отн-ой погреш 10^-4;10^-5при этом грав поле в пределах пл-ки считается однородным. При работах с 10^-5;10^-6 представление об однородности престает быть. Коор. система, в кот учитывается пол-ие силовых линий – плоская кривая, кот перпенд эквипотенц пов-ти. Касательная к силовой линии к данной т. Сил линии имеют кривизну не совпад с отвесными линиями, не параллель др другу. Вместе с силовыми линиями искрив и пов-ти, ортогональ. При неодн-м поле сила тяжести будет набл-ся отклонение оси вращения Т от силовой линии, поэт при вып-ии геод р-т треб высокой точности, необ учитывать уклонение отвесных линий. При обработке результатов высокоточных геодезических измерений необходимо учитывать влияние уклонения отвесной линии. в инженерной геодезии обычно предполагают, что в пределах съемки отвесные линии во всех точках параллельны, а уровненные поверхности — параллельные плоскости. Такое предположение было бы верным, если бы гравитационное поле Земли было однородным. Напомним, что однородным гравитационным полем называют поле постоянной силы тяжести. Так как сила тяжести в реальном гравитационном поле непостоянна, то гравитационное поле Земли неоднородно, причем в соответствии с разделением поля силы тяжести на нормальное и аномальное будем различать неоднородность, связанную с изменением нормальной силы тяжести, и неоднородность, обусловленную отступлением реальной силы тяжести от нормальной. Все элементы нормального гравитационного поля известны, если только заданы координаты точки. Поэтому влияние неоднородности нормального гравитационного поля (например, поправку?а кривизну Земли в тригонометрическом нивелировании, поправку за кривизну нормальной силовой линии и т. д.) всегда можно учесть в виде поправок. Предположение об однородности гравитационного поля может привести к непренебрегаемым ошибкам в определяемых координатах точек.В процессе измерений геодезические приборы ориентируют по направлениям отвесных линий с помощью отвесов и уровней. Из-за непараллельности отвесных линий вертикальные оси приборовв разных точках оказываются также непараллельными. Если обработку результатов измерений вести в местной системе прямоугольных координат, начало которой совмещено с исходным пунктом сети и направление оси 0Z совпадает с отвесной линией в исходном пункте, то измерения во всех остальных точках сети необходимо привести к этой же системе координат, для чего нужно знать разности уклонения отвеса во всех точках, где были выполнены измерения, относительно исходной. Через точку N проведем плоскость, перпендикулярную к направлению MN₀. Точку пересечения этой плоскости линией MN₀ обозначим через No. Очевидно, что горизонтальное направление будет искажено на угол ΔM за счет составляющей Δu разности уклонений отвеса в плоскости, перпендикулярной к измеренному направлению. Эта составляющая равна

1) попр-ка в изм-ое гориз напр-ие: Δu=Δ𝛏·SinA+Δ𝛈·CosA

ΔM= Δu·tgz, где z – изм зенит расст

2) поп-ка в зенитное расстояние: z=z_изм+ Δʋ, где Δʋ - состав разности уклонений отвеса в азимуте измеряемого направления. Вводится, если точность изм z расст сравнима с величиной уклонений отвеса, т.е. при изм z с погрешностями ок 1"и долей ", если >1,0", то можно не учитывать

Влияние уклонения отвеса в измеренные расстояния:

d_s=Δh·ν, где Δh-превышение м/у конечными точками и линиями, ν-уклонение отвесной линии

Влияние уклон отвеса на геом и тригоном нив-ие:

ΔH=Δh - ν·b, где b – проекция измеряемой линии на пл-ть горизонта

Редуцирование азимута в шахту:

ΔА=-(Δξ·SinA-ΔηCosA)·H/S₀, где Н – глубина шахты, S₀-длина линии

Вопрос 38. Перспективы развития гравиметрии.

В последние годы в связи с широким развитием в мире спутниковых средств измерений и их привлечением к решению задач высшей геодезии в гравиметрии появился новый раздел, называемый спутниковой гравиметрией. Этот раздел занимается созданием и развитием методики получения карт аномалий силы тяжести в свободном воздухе по данным картирования рельефа поверхности океана посредством стационарных спутников. Существенный прогресс в осуществлении данной идеи преобразования высот поверхности океана в гравитационные карты был достигнут после запуска геодезических спутников GEOSAT и ERS-1 (1995 г.). В настоящее время спутниковая гравиметрия располагает точностью 3-7 мГал и разрешением объектов размером 20-30 км. Точность метода существенно возрастает при совместном использовании результатов спутниковых измерений с данными локальных гравиметрических съемок.